Standardquadrik/C/Offene Menge/Explizite Homöomorphie/Aufgabe

Wir betrachten den Monoidring

${}R\cong {\mathbb {C} }[X,Y,Z,W]/{\left(XY-ZW\right)}\,$

und die offene Teilmenge  ${}U=D(X,Z)\subseteq {\left(\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$. 

1. Zeige, dass durch  ${}F={\frac {W}{X}}={\frac {Y}{Z}}$  eine wohldefinierte (in der komplexen Topologie) stetige Funktion

   $U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   definiert ist.

2. Zeige, dass

   $(X,Z,F)\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3}\setminus {\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

   eine Homöomorphie ist.

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