Standardquadrik/Vier Variablen/Nach Z/Induzierter geschlossener Weg/Nicht nach N/Nullhomotop/Aufgabe

Wir betrachten das spitze kommutative Monoid

${}M=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {Z} ^{3}\,$

mit dem zugehörigen Monoidring

${}{\mathbb {C} }[M]\cong {\mathbb {C} }[X,Y,Z,W]/{\left(XY-ZW\right)}\,$

und dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Gruppenhomomorphismus

   $(1,1,-1)\colon \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Z}$

   induziert auf ${}M$ einen Monoidhomomorphismus, der nicht durch ${}\mathbb {N}$ faktorisiert.

2. Die Einschränkung auf ${}S^{1}$ der zugehörigen Spektrumsabbildung

   $\gamma \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\left(\operatorname {Spec} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$

   ist nullhomotop.

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