Kurs:Funktionentheorie/sternförmig

Einleitung

In der Mathematik versteht man unter einer sternförmigen Menge eine Teilmenge $M\subset V$ eines Vektorraumes $V$ , zu der es einen Punkt $z_{0}$ gibt (ein Sternzentrum bzw. einen Sternmittelpunkt), von dem aus alle Punkte $z$ der Menge „sichtbar“ sind, d.h. dass jede Konvexkombination von $z_{0}$ zu einem beliebigen Punkt $z\in M$ vollständig in $M$ liegt.

Sternförmige Menge

In der Funktionentheorie betrachtet den Vektorraum $V=\mathbb {C}$ . Sternförmige Mengen sind wesentlich für die Wegintegralen als Stammfunktionen.

Abbildung

Sternförmige Menge mit Sternzentrum $z_{0}\in \mathbb {C}$ und Integrationsweg $z_{o}$ nach $z$

Ist eine sternförmige Menge zusätzlich offen, so spricht man von einem Sterngebiet.

Definition - sternförmig

Eine Menge $M\subseteq \mathbb {C}$ heißt sternförmig, wenn es ein $z_{0}\in M$ gibt, so dass für alle $z\in M$ die Strecke

[z_{0},z]=\left\{\;(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z\;\;|\;\;t\in [0,1]\;\right\}

eine Teilmenge von $M$ ist. $z_{o}$ nennt man Sternzentrum von $M$ .

Definition - sternförmig in Vektorräumen

Eine Teilmenge $M$ eines Vektorraums $V$ heißt sternförmig um $v_{0}\in M$ , wenn für jedes $v\in M$ die konvexe Hülle $\left[v_{0},v\right]\subseteq M$ ganz in $M$ liegt. Eine Menge $M$ wird als sternförmiges Gebiet bezeichnet, wenn es einen Punkt $v_{0}\in M$ gibt, sodass $M$ , um $v_{0}$ sternförmig ist. $v_{0}$ nennt man Sternzentrum von $M$ .

Bemerkung - sternförmig

Jede konvexe Menge ist auch sternförmig, aber nicht umgekehrt. Auch wenn der Name "sternförmig" es nicht vermuten lässt, sind auch Kreise sternförmige Mengen. Der die Kreisscheibe $D_{r}(z_{o})\subset \mathbb {C}$ ist eine sternförmig um jedes $z\in D_{r}(z_{o})$ .

Bemerkung - kreisförmige Nullumgebungen

Kreisförmige Nullumgebungen in topologischen Vektorräumen

Definition - Sternzentrum von Mengen

Sei $V$ ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {K} :=\mathbb {C}$ und sei $M\subseteq V$ eine sternförmige Menge mit $M\not =\emptyset$ . Das Zentrum ${\mathcal {Z}}_{V}(M)$ einer Sterngebiete

Lemma - Zentrum von Sterngebieten

Sei $V$ ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {K} :=\mathbb {C}$ und sei $M\subseteq V$ eine sternförmige Menge. Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch Zentrum der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist.

Bemerkungen

Jede nichtleere konvexe Menge ist sternförmig.
Sternförmige Mengen sind kontrahierbar. Daraus folgt:
Sternförmige Mengen sind einfach zusammenhängend, also insbesondere wegzusammenhängend.
Ein Sterngebiet ist ein Gebiet.

Siehe auch

Literatur

Konrad Königsberger: Analysis 2. 1. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-54723-1, S. 345

Weblinks

sternförmiges Gebiet in Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)
Eric W. Weisstein: star convex. In: MathWorld (englisch).
star shaped auf PlanetMath (englisch)

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Datum: 7.12.2025
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