Stetigkeitskonstante der Addition

Einleitung

Das folgenden Lemma wird im Kontext der Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnormen verwendet. Für topologische Invertierbarkeitskriterien benötigt man für die Algebraerweiterung einen Zusammenhang zwischen p-Halbnormen und Quasihalbnormen, wobei man

jeder $p$ -Halbnorm $\|\cdot \|_{p}$ eine korrespondierende Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{Q}$ zuordnen kann, die die gleichen offenen Mengen der Topologie erzeugen und umgekehrt
auch jeder Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{Q}$ eine $p$ -Halbnorm $\|\cdot \|_{p}$ zuordnen kann, die die gleichen offenen Mengen der Topologie erzeugen

Animation

Erläuterung - Animation

Das gestrichelte grüne Quadrat kennzeichnet die konvexe Hülle des rot markierten $p$ -konvexen "Einheitskreise". Ferner ist das gestrichelte grüne Quadrat am Enfang der Animation auch den "Einheitskreis" der 1-Norm $\|(\alpha ,\beta )\|_{1}=|\alpha |+|\beta |$ . Die rot markierte Linie ist der $p$ -konvexe Einheitskreis für $p={\frac {6}{10}}=0,6$ und dieser "Einheitskreis" besteht aus allen Punkten $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$ mit:

\|(\alpha ,\beta )\|_{p}=|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}=1

Kernidee des Beweis

Gesucht wird der maximale Radius $r>0$ , bei dem das grüne Quadrat vollständig in der rot berandeten $p$ -konvexen Einheitskreischeibe liegt. Das gesuchte $K>0$ als Stetigkeitskonstante der Addition ergibt sich dann als $K:={\frac {1}{r}}$ .

Lemma - Stetigkeitskonstante der Addition bei p-Konvexität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit ( ${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ) und ${\textstyle 0<p<1}$ , dann gibt es ein kleinstes $K\geq 0$ mit $K=2^{{\frac {1}{p}}-1}$ , sodass für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

{\big (}|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}{\big )}^{\frac {1}{p}}\leq K\cdot (|\alpha |+|\beta |).

Beweis - Stetigkeitskonstante der Addition bei p-Konvexität

Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.

Fall 1: $\alpha =0$ und
Fall 2: $\alpha \not =0$

Man sucht das kleinste $K>0$ Dabei wird das $K>0$ aus den Maxima der Fälle 1 und 2 als $K:=\max\{K_{1},K_{2}\}$ gebildet. $K_{1}\geq 0$ und $K_{2}\geq 0$ sind jeweils minimal gewählt worden.

Beweis - Fall 1

Für ${\textstyle \alpha =0}$ folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:

{\big (}\,\,{\underbrace {|\alpha |} _{=0}}^{p}+|\beta |^{p}{\big )}^{\frac {1}{p}}=|\beta |=0+|\beta |=\underbrace {|\alpha |} _{=0}+|\beta |

Damit gilt für $\alpha =0$ sogar die Gleichheit ${\big (}|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}{\big )}^{\frac {1}{p}}=K_{1}\cdot (|\alpha |+|\beta |)$ und damit ist in diesem Fall $K_{1}=1$ .

Beweis - Fall 2

Für $\alpha \not =0$ und ${\textstyle 0<p<1}$ wird nun zuerst noch eine weitere kleine Fallunuterscheidung betrachtet, um in Fall 2 von der Voraussetzung auszugehen, dass sowohl $\alpha \not =0$ als auch $\beta \not =0$ gilt. Man betrachtet dazu die 1-Norm der auf dem roten Rand der $p$ -konvexen Einheitsheitkreisscheibe.

Beweis - Fall 2.1

Aus Symmetriegründen für eine $p$ -konvexen Nullumgebung muss man nur im ersten Quadraten nach dem Minimum der 1-Norm vom Rand der $p$ -konvex Einheitkreis suchen (roter Rand in obiger Animation). Der resultierende Radius $r>0$ für die $r$ -Kreis in der 1-Norm $B_{r}^{\|\cdot \|_{1}}(0_{_{V}})$ (grünes Quadrat).

Beweis - Fall 2.2

Die Punkte auf dem Rand der $p$ -Einheitkreisscheibe (rot markierter Rand) kann man mit den Vektoren $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$ wie folgt darstellen, da ${\big (}|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}{\big )}^{\frac {1}{p}}=1$ genau dann gilt, wenn die folgenden Gleichung gilt:

|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}=1

Für diese Vektoren $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$ auf dem Rand berechnet man nun die 1-Norm. Die Abhängigkeit zwischen $\alpha$ und $\beta$ kann wie folgt ausgedrückt werden:

|\beta |=(1-|\alpha |^{p})^{\frac {1}{p}}

Beweis - Fall 2.3

Die Vektoren $(\alpha ,\beta )\in [-1,+1]\times [-1,+1]\subset \mathbb {R} ^{2}$ auf dem Rand des rot markierten $p$ -konvexen Einheitkreises hat damit die 1-Norm:

|\alpha |+(\underbrace {1-|\alpha |^{p}} _{\geq 0})^{\frac {1}{p}}

Mit $0<p<1$ kann ohne Einschränkung mit des Symmetrie der $p$ -konvexen Einheitkreises $\alpha \in [0,1]$ betrachten und die folgenden Funktion untersuchen:

{\begin{array}{rrcl}f:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &f\left(t\right)=t+(1-t^{p})^{\frac {1}{p}}\end{array}}

Beweis - Fall 2.4

Für die Berechnung des Minimums sucht man nach der Nullstelle der ersten Ableitung als notwendiges Kriterium für eine Extremstelle.

{\begin{array}{rrcl}f':&(0,1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &f'\left(t\right)=1-t^{p-1}\cdot \left(1-t^{p}\right)^{{\frac {1}{p}}-1}\end{array}}

Beweis - Fall 2.5

Aus der Bedingung $f'\left(t\right)=0$ kann man die folgenden Quotienten berechnen:

1=t^{p-1}\cdot \left(1-t^{p}\right)^{{\frac {1}{p}}-1}={\frac {\left(1-t^{p}\right)^{{\frac {1}{p}}-1}}{t^{1-p}}}

Die Exponenten ${\frac {1}{p}}-1$ und $1-p$ sind für $0<p<1$ jeweils positiv und damit sind $x^{{\frac {1}{p}}-1}$ und auch $x^{1-p}$ streng monotone Funktionen auf dem Intervall $(0,1]$ mit $x\in (0,1]$ . Der Nenner ist für $t>0$ monoton steigend und der Zähler ist streng monoton fallend. Dabei ist der Quotient 0 für $t=1$ und für $\displaystyle \lim _{t\to 0}\textstyle {\frac {\left(1-t^{p}\right)^{{\frac {1}{p}}-1}}{t^{1-p}}}=+\infty$ . Also hat die Ableitung genau eine Nullstelle.

Beweis - Fall 2.6

Wenn man obige Quotient aus 2.6 mit $c:={\frac {1}{{\frac {1}{p}}-1}}$ potenziert, behält der Quotient den Wert 1. Im Zähler erhält man damit $1-t^{p}$ und im Nenner kann man die Potenz wie folgt vereinfachen:

(1-p)\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{p}}-1}}=(1-p)\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{p}}\cdot (1-p)}}={\frac {1}{\frac {1}{p}}}=p

Beweis - Fall 2.7

Aus der Bedingung $f'\left(t\right)=0$ kann man die folgenden Quotienten wie folgt mit $c:={\frac {1}{{\frac {1}{p}}-1}}$ vereinfachen:

1=1^{c}=\left({\frac {\left(1-t^{p}\right)^{{\frac {1}{p}}-1}}{t^{1-p}}}\right)^{c}={\frac {1-t^{p}}{t^{p}}}

Damit ist $f'\left(t\right)=0$ , wenn man ein $t\in (0,1)$ finden kann, bei dem $t^{p}=1-t^{p}$ gilt. Also $t^{p}={\frac {1}{2}}$ bzw. $t^{p}={\frac {1}{2^{\frac {1}{p}}}}=2^{-{\frac {1}{p}}}$ .

Beweis - Fall 2.8

Die 2. Ableitung von $f$ ist wie folgt definiert mit $0<p<1$ :

f''(t)=\underbrace {\left({\frac {1}{p}}-1\right)} _{>0}\cdot p\cdot t^{2p-2}\cdot (1-t^{p})^{{\frac {1}{p}}-2}+\underbrace {(1-p)} _{>0}\cdot t^{p-2}\cdot (1-t^{p})^{{\frac {1}{p}}-1}

Mit $t\in (0,1)$ sind auch die anderen Faktoren und Summanden positiv. Damit

Beweis - Fall 2.9

Damit erhält man die Nullstelle $f'(t_{o})$ mit $t_{o}:={\frac {1}{2^{\frac {1}{p}}}}=2^{-{\frac {1}{p}}}$ . Setzt man $t_{0}$ in $f''(t_{0})$ ein, so gilt $f''(t_{0})>0$ und die Funktion $f$ hat in $t_{o}$ ein lokales Minimum. Die Stetigkeitskonstante der Addition ist damit das Maximum von $K_{1}=1$ und $K_{2}:=2^{\frac {1}{p}}>1$ .

Beweis - Fall 2.10

Nun kann man die minimal 1-Norm auf dem Rand des $p$ -konvexen "Einheitskreises" berechnen, indem man die Nullstelle der 1. Ableitung in die Funktion $f$ einsetzt:

{\begin{array}{rcl}f(t)&=&t+(1-t^{p})^{\frac {1}{p}}\\f\left(2^{-{\frac {1}{p}}}\right)&=&2^{-{\frac {1}{p}}}+{\underbrace {\left(1-\left(2^{-{\frac {1}{p}}}\right)^{p}\right)} _{={\frac {1}{2}}=2^{-1}}}^{\frac {1}{p}}=\underbrace {2^{-{\frac {1}{p}}}+2^{-{\frac {1}{p}}}} _{=2\cdot 2^{-{\frac {1}{p}}}}=2^{1-{\frac {1}{p}}}\end{array}}

Die Stetigkeitskonstante der Addition ist der Reziproktwert $K:=2^{{\frac {1}{p}}-1}$ . $\,\,\,\,\,\,\Box$

Korrollar - Stetigkeitskonstante der Addition bei p-Konvexität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit ( ${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ) und ${\textstyle 0<p<1}$ , dann gibt es ein kleinstes $K\geq 0$ mit $K=2^{{\frac {1}{p}}-1}$ , sodass für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

{\big (}|\alpha |+|\beta |{\big )}^{\frac {1}{p}}\leq K\cdot (|\alpha |^{\frac {1}{p}}+|\beta |^{\frac {1}{p}}).

Beweis - Korrollar

Nach dem Lemma zur Stetigkeitskonstante der Addition bei p-Konvexität gilt für alle ${\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}\in \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ mit ${\textstyle 0<p<1}$ und $K=2^{{\frac {1}{p}}-1}$ die folgende Ungleichung:

\left(\left|{\widehat {\alpha }}\right|^{p}+\left|{\widehat {\beta }}\right|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq K\cdot \left(\left|{\widehat {\alpha }}\right|+\left|{\widehat {\beta }}\right|\right).

Durch Einsetzen von ${\widehat {\alpha }}:=|\alpha |^{\frac {1}{p}}$ und ${\widehat {\beta }}:=|\beta |^{\frac {1}{p}}$ in die Ungleichung aus dem Lemma erhält man das Korrolar.

Aufgabe - höhere Potenzen

Zeigen Sie für alle $n\in \mathbb {N}$ , dass die folgende Aussage gilt:

{\big (}|\alpha |^{n\cdot p}+|\beta |^{n\cdot p}{\big )}^{\frac {1}{p}}\leq K\cdot \left(|\alpha |^{(n-1)\cdot p}+|\beta |^{(n-1)\cdot p}\right).

Beispiel - Folgenräume

Bei Folgenräumen mit bildet die Menge der absolut $p$ -summierbaren Reihen:

\ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}

einen $\mathbb {K}$ -Vektorraum. Nun kann man mit dem obigen Ergebnis $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ für $0<p<1$ den Raum mit einer Quasinorm topologisieren. Die Stetigkeitskonstante der Addition $K\geq 1$ kann man bei gegebenen $p$ wie über $K:=2^{1-{\frac {1}{p}}}$ setzen.

Definition der Quasinorm

Nun kann man eine Quasinorm $\|\cdot \|_{_{Q}}$ auf $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ definieren:

\|a\|_{_{Q}}:=\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{_{Q}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

Dreiecksungleichung

Im Unterschied zur $p$ -Norm erfüllt die Quasinorm die Dreiecksungleichung nicht mehr. Diese wird durch die Subadditivität mit Stetigkeitskonstante $K:=2^{1-{\frac {1}{p}}}$ mit $0<p<1$ ersetzt.

\|a+b\|_{_{Q}}\leq K\left(\cdot \|a\|_{_{Q}}+\|b\|_{_{Q}}\right){\mbox{ für alle }}a,b\in \ell _{p}(\mathbb {K} )

Korrespondenzsatz für p-Norm

Nach dem Korrespondenzsatz für $p$ -Normen und Quasinormen erzeugt die Quasinorm $\|\cdot \|_{_{Q}}$ auf $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ die gleiche Topologie, wie die folgende $p$ -Norm: