Der im Folgenden genannte Stetigkeitssatz für bilineare Abbildungen auf topologische Vektorräume gilt analog zum Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen SLAT auf auf topologischen Räumen.
[ Bearbeiten ] Addition, Multiplikation mit Skalaren oder auch die Multiplikation als innere Verknüpfung auf einer topologischen Algebra sind nach Definition bilineare Abbildungen. Der nachstehende Satz hilft dabei, die Stetigkeit einer Funktion , ber der man im Allgemeinen alle Punkte aus dem Definitionsbereich auf Stetigkeit untersuchen muss, auf die Überprüfung der Stetigkeit im Nullvektor zu reduzieren.
[ Bearbeiten ] Seien
(
X
1
,
‖
⋅
‖
A
1
)
{\displaystyle (X_{1},\|\cdot \|_{{\mathcal {A}}_{1}})}
(
X
2
,
‖
⋅
‖
A
2
)
{\displaystyle (X_{2},\|\cdot \|_{{\mathcal {A}}_{2}})}
(
Y
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (Y,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
topologische Vektorräume über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
T
:
X
1
×
X
2
→
Y
{\displaystyle T:X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y}
(1) T ist stetig in jedem Punkt
(
x
1
,
x
2
)
∈
X
1
×
X
2
{\displaystyle (x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}}
(2) T ist stetig im Nullvektor
(
0
X
1
,
0
X
2
)
∈
X
1
×
X
2
{\displaystyle (0_{X_{1}},0_{X_{2}})\in X_{1}\times X_{2}}
(3)
∀
α
~
∈
A
~
∃
α
1
∈
A
1
,
α
2
∈
A
2
,
M
>
0
∀
(
x
1
,
x
2
)
∈
X
1
×
X
2
:
‖
T
(
x
1
,
x
2
)
‖
α
~
≤
M
{\displaystyle \forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha _{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {A}}_{2},\,M>0}\forall _{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}}\,:\|T(x_{1},x_{2})\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M}
(
x
1
,
x
2
)
∈
X
1
×
X
2
{\displaystyle (x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}}
‖
(
x
1
,
x
2
)
‖
(
α
1
,
α
1
)
:=
max
{
‖
x
1
‖
α
1
,
‖
x
2
‖
α
2
}
≤
1
{\displaystyle \|(x_{1},x_{2})\|_{(\alpha _{1},\alpha _{1})}:=\max\{\|x_{1}\|_{\alpha _{1}},\|x_{2}\|_{\alpha _{2}}\}\leq 1}
(4)
∀
α
~
∈
A
~
∃
α
1
∈
A
1
,
α
2
∈
A
2
,
M
>
0
∀
(
x
1
,
x
2
)
∈
X
1
×
X
2
:
‖
T
(
x
1
,
x
2
)
‖
α
~
≤
M
⋅
‖
x
1
‖
α
1
⋅
‖
x
2
‖
α
2
{\displaystyle \forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha _{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {A}}_{2},\,M>0}\forall _{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}}\,:\,\|T(x_{1},x_{2})\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M\cdot \|x_{1}\|_{\alpha _{1}}\cdot \|x_{2}\|_{\alpha _{2}}}
(
x
1
,
x
2
)
∈
X
1
×
X
2
{\displaystyle (x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}}
