Streckung/In jeder Basis gleich/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}\varphi$ eine Streckung ist, so ist

${}\varphi (v)=sv\,$

für jeden Vektor ${}v\in V$ mit einem festen Streckungsfaktor ${}s$. Die beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist daher diejenige Diagonalmatrix, in der jeder Diagonaleintrag gleich ${}s$ ist.

Es sei nun vorausgesetzt, dass ${}\varphi$ bezüglich jeder Basis durch die gleiche Matrix beschrieben wird. Dann sind zunächst ${}v$ und ${}\varphi (v)$ linear abhängig. Andernfalls wären ${}v$ und ${}\varphi (v)$ linear abhängig und man könnte sie als die ersten beiden Vektoren einer Basis nehmen. Die Matrix bezüglich einer solchen Basis sieht dann in der ersten Spalte so aus:

${\begin{pmatrix}0&&&\\1&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}}.$

Es ist dann auch ${}v$ und ${}w=v+\varphi (v)$ Teil einer Basis. Wegen

${}\varphi (v)=w-v\,$

sieht dann bezüglich dieser Basis die beschreibende Matrix so aus:

${\begin{pmatrix}-1&&&\\1&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}}.$

Das kann also nicht sein. Dies bedeutet also, dass ${}\varphi (v)$ stets ein Vielfaches von ${}v$ ist. Es ist zu zeigen, dass dabei der skalare Faktor immer die gleiche Zahl ist. Nehmen wir an, dass es Vektoren ${}v,w$ mit

${}\varphi (v)=sv\,$

und

${}\varphi (w)=tw\,$

mit ${}s\neq t$

gibt. Bezüglich einer Basis ${}v,w,...$ sind dann die Diagonaleinträge ${}s,t,...$, bezüglich einer Basis ${}w,v,...$ sind dann die Diagonaleinträge ${}t,s,...$, also verschieden.

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