Streckung/In jeder Basis gleich/Aufgabe/Lösung

Wenn $\phi$ eine Streckung ist, so ist

$\phi (v)=sv$

für jeden Vektor  $v\in V$  mit einem festen Streckungsfaktor $s$. Die beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist daher diejenige Diagonalmatrix, in der jeder Diagonaleintrag gleich $s$ ist.

Es sei nun vorausgesetzt, dass $\phi$ bezüglich jeder Basis durch die gleiche Matrix beschrieben wird. Dann sind zunächst $v$ und $\phi (v)$ linear abhängig. Andernfalls wären $v$ und $\phi (v)$ linear abhängig und man könnte sie als die ersten beiden Vektoren einer Basis nehmen. Die Matrix bezüglich einer solchen Basis sieht dann in der ersten Spalte so aus:

$\left(\begin{array}{cccc}0& & & \\ 1& & & \\ & & & \\ & & & \end{array}\right).$

Es ist dann auch $v$ und $w=v+\phi (v)$ Teil einer Basis. Wegen

$\phi (v)=w-v$

sieht dann bezüglich dieser Basis die beschreibende Matrix so aus:

$\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ 1& & & \\ & & & \\ & & & \end{array}\right).$

Das kann also nicht sein. Dies bedeutet also, dass $\phi (v)$ stets ein Vielfaches von $v$ ist. Es ist zu zeigen, dass dabei der skalare Faktor immer die gleiche Zahl ist. Nehmen wir an, dass es Vektoren $v,w$ mit

$\phi (v)=sv$

und

$\phi (w)=tw$

mit  $s\ne t$ 

gibt. Bezüglich einer Basis $v,w,\mathrm{...}$ sind dann die Diagonaleinträge $s,t,\mathrm{...}$, bezüglich einer Basis $w,v,\mathrm{...}$ sind dann die Diagonaleinträge $t,s,\mathrm{...}$, also verschieden.

Zur gelösten Aufgabe