Summe von 4 Quadraten/Gitterpunktsatz/Textabschnitt

Wir beweisen den folgenden Satz, den sogenannten Vier-Quadrate-Satz, mit Hilfe des Gitterpunktsatzes von Minkowski.

Satz

Jede natürliche Zahl

lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.

Lemma

Wenn die natürlichen Zahlen ${}x$ und ${}y$ jeweils eine Summe von vier Quadraten sind,

so ist auch ihr Produkt ${}xy$ eine Summe von vier Quadraten.

Beweis

Es sei ${}x=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2}$ und ${}y=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2}$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,xy\\&=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})\\&=a_{1}^{2}a_{2}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{2}c_{2}^{2}+a_{1}^{2}d_{2}^{2}+b_{1}^{2}a_{2}^{2}+b_{1}^{2}b_{2}^{2}+b_{1}^{2}c_{2}^{2}+b_{1}^{2}d_{2}^{2}+c_{1}^{2}a_{2}^{2}+c_{1}^{2}b_{2}^{2}+c_{1}^{2}c_{2}^{2}+c_{1}^{2}d_{2}^{2}+d_{1}^{2}a_{2}^{2}+d_{1}^{2}b_{2}^{2}+d_{1}^{2}c_{2}^{2}+d_{1}^{2}d_{2}^{2}\\&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})^{2}+(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})^{2}+(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})^{2}.\,\end{aligned}}

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Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl, und es seien ${}u,v\in \mathbb {Z}$ mit ${}u^{2}+v^{2}=-1\mod p$ .

Dann ist

${}\Gamma =\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}\mid c=au+bv\mod p,\,d=av-bu\mod p\right\}=\left\{a{\begin{pmatrix}1\\0\\u\\v\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0\\1\\v\\-u\end{pmatrix}}+m{\begin{pmatrix}0\\0\\p\\0\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\p\end{pmatrix}}\mid a,b,m,n\in \mathbb {Z} \right\}\,$

ein (volldimensionales) Gitter in ${}\mathbb {Z} ^{4}$ .

Beweis

Es ist klar, dass die rechte Menge in der linken Menge enthalten ist. Umgekehrt legen die Kongruenzbedingungen ${}c=au+bv\mod p$ und ${}d=av-ub\mod p$ direkt ${}m$ und ${}n$ fest. Aus der rechten Seite ist direkt erkennbar, dass ein volldimensionales Gitter vorliegt.

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Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl, es seien ${}u,v\in \mathbb {Z}$ mit ${}u^{2}+v^{2}=-1\mod p$ , und es sei ${}\Gamma$ das Gitter aus Fakt zu ${}u,v$ .

Dann gilt für ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}\in \Gamma$ die Beziehung

${}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=0\mod p\,.$

Beweis

Nach Fakt gelten modulo ${}p$ die Gleichungen ${}c=au+bv$ und ${}d=av-ub$ . Daher gilt modulo ${}p$ auch

{}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=a^{2}+b^{2}+(au+bv)^{2}+(av-bu)^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+a^{2}u^{2}+b^{2}v^{2}+2aubv+a^{2}v^{2}+b^{2}u^{2}-2avbu\\&=a^{2}(1+u^{2}+v^{2})+b^{2}(1+u^{2}+v^{2})\\&=0.\end{aligned}}

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Lemma

Jede Primzahl

lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.

Beweis

Es seien ${}u,v\in \mathbb {Z}$ fixiert mit

{}u^{2}+v^{2}=-1\mod p\,,

was es augrund von Fakt gibt. Wir betrachten das Gitter ${}\Gamma$ (zu ${}u,v$ ) aus Fakt. Das Volumen der Grundmasche dieses Gitters ist nach Fakt gleich ${}p^{2}$ . Wir betrachten den euklidischen Ball mit Mittelpunkt ${}0$ und einem Radius ${}r<{\sqrt {2p}}$ . Das Volumen dieses Balles ist nach Beispiel gleich ${}{\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ . Für ${}r={\sqrt {2p}}$ gilt

{}{\frac {1}{2}}\pi ^{2}4p^{2}>16p^{2}\,

und daher gilt auch

{}{\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}>16p^{2}\,

für ${}r<{\sqrt {2p}}$ und ${}r$ hinreichend groß. Wir können somit den Gitterpunktsatz von Minkowski anwenden und erhalten die Existenz eines Gitterpunktes ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ mit