Symmetrische Bilinearform/3 1 1 -5/Typ/Aufgabe/Kommentar

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In der Vorlesung wurden zwei praktische Möglichkeiten vorgestellt den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen. Beide Varianten nutzen die Grammatrix bezüglich einer Basis. In dieser Aufgabe haben wir eine symmetrische Matrix gegeben. Diese kann man als Grammatrix einer symmetrischen Bilinearform zur Standardbasis interpretieren. Um den Typ der zugehörigen Bilinearform zu bestimmten, arbeiten wir einfach mit dieser Matrix.

Zum Einen können wir das Eigenwertkriterium nutzten. Wir stellen dazu das charakteristische Polynom der gegebenen Matrix auf und berechnen die Eigenwerte, indem wir die Nullstellen dieses Polynoms finden. In diesem Fall bekommen wir einen positiven und einen negativen Eigenwert. Wie genau sieht das charakteristische Polynom und die Eigenwerte aus? Danach müssen die Dimensionen der jeweiligen Eigenräume berechnet werden. Der Typ ist dann (p,q), wobei die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu positiven Eigenwerten und die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu negativen Eigenwerten ist. Da unser Vektorraum nur zweidimensional ist und wir zwei verschiedene Eigenwerte haben, können die zugehörigen Eigenräume jeweils nur eindimensional sein. Damit müsste es einfach sein, den Typ der Bilinearform anzugeben.

Zum Anderen können wir das Minorenkriterium verwenden, welches die Determinanten der größer werdenden Blöcke oben links in der Matrix verwendet. Determinanten von quadratischen Untermatrizen bezeichnet man in der linearen Algebra auch als Minoren und die Determinanten der oberen linken Blöcke, im speziellen, als die führenden Hauptminoren einer Matrix.

Die führenden Hauptminoren sind in unserem Fall und , dabei ist definitionsgemäß immer . Es kommt heraus, dass diese alle ungleich Null sind, was eine Voraussetzung des Satzes ist. Jetzt müssen die Vorzeichenwechsel von einer Zahl zur nächsten gezählt werden. Sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel , dann ist der Typ (2-a,a), wobei die die Dimensionierung der Ausgangsmatrix ist.
Zur kommentierten Aufgabe