Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Nullform/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die symmetrisch Bilinearform auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ , die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

gegeben ist. Diese Form ist nicht ausgeartet, und somit ist der Ausartungsraum gleich ${}0$ und insbesondere nulldimensional. Es ist

{}\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle ={{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0\,.

Wenn man also die Form auf den eindimensionalen Untervektorraum

{}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}

einschränkt, so ergibt sich die Nullform.