Symmetrische Bilinearform/Untervektorraum/Orthogonalraum/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$

Der Nullvektor gehört dazu. Für  ${}v_{1},v_{2}\in U^{\perp }$  und  ${}a_{1},a_{2}\in K$  und ein beliebiges  ${}u\in U$  ist unmittelbar

${}\left\langle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2},u\right\rangle =a_{1}\left\langle v_{1},u\right\rangle +a_{2}\left\langle v_{2},u\right\rangle =0\,.$

b) Der Ausartungsraum ist nach Definition

${}A={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}\,.$

Deshalb ist direkt  ${}A=V^{\perp }$. 

c) Es ist

${}A^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in A\right\}}\,.$

Dies ist der Gesamtraum, da ja jeder Vektor orthogonal zu jedem Vektor des Ausartungsraumes ist.

Zur gelösten Aufgabe