Symmetrische Gruppe/Operation auf Polynomring/Ganzheitsgleichung/Aufgabe/Lösung

Ohen Einschränkung sei  ${}i=1$.  Wir multiplizieren das Produkt

${}P={\left(X_{1}-X_{1}\right)}{\left(X_{1}-X_{2}\right)}\cdots {\left(X_{1}-X_{n}\right)}\,$

aus und erhalten

${}{\begin{aligned}0&=P\\&=X_{1}^{n}-{\left(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}\right)}X_{1}^{n-1}+{\left(\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\right)}X_{1}^{n-2}\pm \ldots \pm X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\\&=X_{1}^{n}-E_{1}X_{1}^{n-1}+E_{2}X_{1}^{n-2}\pm \ldots \pm E_{n}\end{aligned}}$

mit den elementar-symmetrischen Polynomen ${}E_{j}$. Dies ist direkt eine Ganzheitsgleichung für ${}X_{1}$ über den Ring der symmetrischen Polynome.

Zur gelösten Aufgabe