Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe/Kommentar

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Nach Definition des Tangentialraums ist er in einem Punkt definiert, in dem das totale Differential der surjektiv ist und gehört zu der Faser durch . Insbesondere ist wegen der Surjektivität dann ein regulärer Punkt und es muss sein. Der Tangentialraum an in ist gegeben durch (in der affinen Darstellung wie in der Vorlesung 54 nach Definition besprochen)

Jetzt ist ein Diffeomorphismus gegeben, dessen Bild die Faser in einer Umgebung um ist. Der Punkt, der von ihr auf abgebildet wird, wird genannt, d.h. . Wir sollen nun zeigen, dass der obige Tangentialraum mit Hilfe des Differentials von im Punkt beschrieben werden kann. Intuitiv kann es schnell eingesehen werden, da bereits in der Vorlesung der Tangentialraum einer Faser im entsprechenden Punkt als die lineare Approximation dieser Faser nahe des Punktes verstanden werden kann. Jetzt beschreibt gerade die Faser nahe und das totale Differential einer Funktion haben wir als lineare Approximation dieser Funktion nahe des Punktes kennengelernt. Von daher macht es Sinn, dass der Tangentialraum und das totalen Differntial von eng zusammen hängen. Wir machen das jetzt aber etwas exakter. Wir wollen zeigen, dass der obige Tangentialraum auch durch

gegeben ist. Das heißt, die Vektoren aus dem Kern von werden durch Vektoren aus dem Bild von ersetzt. Zwei Fragen stellen sich nun. Sind Bildvektoren von immer Kernvektoren von ? Und wenn ja, sind dadurch alle Kernvektoren beschrieben, oder gibt es welche die nicht durch Abbilden mit getroffen werden? Zur ersten Frage nutzen wir, dass in die Faser von abbildet. Da ausgewertet an einem beliebigen Punkt immer den selben Wert ergibt, sagen wir , haben wir

für alle und deshalb wegen der Kettenregel insbesondere

also die Nullabbildung. Jeder Bildvektor von wird von auf Null geschickt und ist deshalb im Kern von . Dass das nun auch alle Vektoren im Kern abdeckt folgt daraus, dass ein Diffeomorphismus ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass regulär und als Abbildung von injektiv sein muss (wir haben ).

Das Bild von hat demnach Dimension . Welche Dimension hat der Kern von ? Sind wir dann fertig?
Zur kommentierten Aufgabe