Teilerpotenzsumme/Multiplikativität/Fakt/Beweis

Beweis

Bei zwei teilerfremden Zahlen ${}n$ und ${}m$ hat jeder positive Teiler ${}t$ des Produkts ${}nm$ die eindeutige Form  ${}t=ab$,  wobei ${}a$ ein Teiler von ${}n$ und ${}b$ ein Teiler von ${}m$ ist. Also gilt

${}\sigma _{k}(nm)=\sum _{t{|}mn}t^{k}=\sum _{a{|}m{\text{ und }}b{|}n}a^{k}b^{k}=\left(\sum _{a{|}n}a^{k}\right)\left(\sum _{b{|}m}b^{k}\right)=\sigma _{k}(n)\sigma _{k}(m)\,.$

Zur bewiesenen Aussage