Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Nicht zerlegbar/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass man im Allgemeinen in der Abbildungsmenge

$\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}$

nicht jedes Element in der Form ${}f\otimes g$ schreiben kann, wobei für  ${}f\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$  und  ${}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$  das (direkte) Tensorprodukt ${}f\otimes g$ durch

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

definiert ist.

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