Tensorprodukt/Körper/Basiswechsel/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und ${}w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen

${}B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \operatorname {dim} _{}\left(V_{i}\right)}\,.$

Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen

$v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J\,\,{\text{ und }}\,\,w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J$

des Tensorproduktes durch die ${}J\times J$-Matrix mit den Einträgen

${}c_{(j_{1},\ldots ,j_{n}),(k_{1},\ldots ,k_{n})}=a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}\,$

beschrieben.

Beweis

Nach der Definition der Basiswechselmatrix ist

${}v_{is}=\sum _{r\in J_{i}}a_{irs}w_{ir}\,.$

Somit ist unter Verwendung von Fakt  (3)

${}{\begin{aligned}v_{1k_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nk_{n}}&={\left(\sum _{j_{1}\in J_{1}}a_{1j_{1}k_{1}}w_{1j_{1}}\right)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\left(\sum _{j_{n}\in J_{n}}a_{nj_{n}k_{n}}w_{nj_{n}}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J}a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\end{aligned}}$

und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Basen ${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}}$ und der Standardbasis ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum mit den Basen ${}{\mathfrak {x}}=3-2{\mathrm {i} },4+5{\mathrm {i} }$ und ${}{\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$. Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Fakt auftreten, gleich

${}B_{1}={\begin{pmatrix}5&-3\\6&8\end{pmatrix}}\,$

und

${}B_{2}={\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}}\,.$

Wir folgen der Anordnung ${}(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ und erhalten die Basiswechselmatrix

${\begin{pmatrix}15&20&-9&-12\\-10&25&6&-15\\18&24&24&32\\-12&30&-16&40\end{pmatrix}}.$

In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man ${}v_{1}\otimes x_{2}$ als Linearkombination der ${}w_{1}\otimes y_{1},\,w_{1}\otimes y_{2},\,w_{2}\otimes y_{1},\,w_{2}\otimes y_{2}$ ausdrückt.