Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Affine Schemata/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B$ seien kommutative ${}R$-Algebren.

Dann ist das Tensorprodukt

$A\otimes _{R}B$

eine kommutative ${}R$-Algebra und es gibt ${}R$-Algebrahomomorphismen

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b.$

Beweis

Die Multiplikationen auf ${}A$ bzw. auf ${}B$ führen zu ${}R$-linearen Abbildungen ${}\mu _{A}\colon A\otimes _{R}A\rightarrow A$ und ${}\mu _{B}\colon B\otimes _{R}B\rightarrow B$. Dies ergibt eine ${}R$-bilineare Abbildung

${\left(A\otimes _{R}A\right)}\times {\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

und damit zu einer ${}R$-linearen Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}A\right)}\otimes _{R}{\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B.$

Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine ${}R$-lineare Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}B\right)}\otimes _{R}{\left(A\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

auffassen, wodurch eine Multiplikation auf ${}A\otimes _{R}B$ definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch

${}{\left(a_{1}\otimes b_{1}\right)}\cdot {\left(a_{2}\otimes b_{2}\right)}=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}\,$

und allgemein durch

${}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}\otimes b_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\otimes d_{j}\right)}=\sum _{i,j}a_{i}c_{j}\otimes b_{i}b_{j}\,$

gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.

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Beispiel

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ und den Polynomringen ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und ${}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ist

${}A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,.$

Die Vorgabe ${}X_{i}\mapsto X_{i}\otimes 1$ und ${}Y_{j}\mapsto 1\otimes Y_{j}$ definiert den Einsetzungshomomorphismus

$R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\longrightarrow A\otimes _{R}B.$

Die Zuordnung

$A\times B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

ist ${}R$-bilinear und definiert nach Fakt  (2) einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$A\otimes _{R}B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}].$

Beide Abbildungen sind invers zueinander.

Beispiel

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ und endlich erzeugten ${}R$-Algebren ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {a}}$ und ${}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/{\mathfrak {b}}$ ist

${}A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})\,.$

Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in Beispiel begründet.

Beispiel

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist die Faser zu ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S\right)}$. Dies folgt aus

${}\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}S\cong {\left(S/{\mathfrak {p}}\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {p}})}\,$

(nach Fakt) und der Beschreibung der Faser in Fakt.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B,S$ seien kommutative ${}R$-Algebren.

Dann ist

$\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A\otimes _{R}B,S\right)}=\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,.$

Beweis

Über die natürlichen ${}R$-Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b,$

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die ${}a\otimes 1$ und ${}1\otimes b$ ein ${}R$-Algebraerzeugendensystem von ${}A\otimes _{R}B$ bilden, ist darauf ein ${}R$-Algebrahomomorphismus nach ${}S$ festgelegt. Es kann also zu

${}(\varphi ,\psi )\in \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,$

maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}(\varphi ,\psi )$ gegeben. Wir betrachten die Abbildung

$A\times B\longrightarrow S,\,(a,b)\longmapsto \varphi (a)\psi (b).$

Diese Abbildung ist offenbar ${}R$-bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\otimes _{R}B\longrightarrow S.$

Dieser ist wegen

${}{\begin{aligned}\theta (a_{1}\otimes b_{1}\cdot a_{2}\otimes b_{2})&=\theta (a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1}a_{2})\cdot \psi (b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1})\varphi (a_{2})\psi (b_{1})\psi (b_{2})\\&=\theta (a_{1}\otimes b_{1})\cdot \theta (a_{2}\otimes b_{2})\end{aligned}}$

auch mit der Multiplikation verträglich.

$\Box$