Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Affine Schemata/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien kommutative -Algebren.

Dann ist das Tensorprodukt

eine kommutative -Algebra und es gibt -Algebrahomomorphismen

und

Beweis  

Die Multiplikationen auf bzw. auf führen zu -linearen Abbildungen und . Dies ergibt eine -bilineare Abbildung

und damit zu einer -linearen Abbildung

Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine -lineare Abbildung

auffassen, wodurch eine Multiplikation auf definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch

und allgemein durch

gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.



Beispiel  

Zu einem kommutativen Ring und den Polynomringen und ist

Die Vorgabe und definiert den Einsetzungshomomorphismus

Die Zuordnung

ist -bilinear und definiert nach Fakt  (2) einen -Modulhomomorphismus

Beide Abbildungen sind invers zueinander.



Beispiel  

Zu einem kommutativen Ring und endlich erzeugten -Algebren und ist

Dies wird ählich wie die Isomorphie in Beispiel begründet.



Beispiel  

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und

die zugehörige

Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ist die Faser zu über gleich . Dies folgt aus

(nach Fakt) und der Beschreibung der Faser in Fakt.




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und seien kommutative -Algebren.

Dann ist

Beweis  

Über die natürlichen -Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)

und

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die und ein

-Algebraerzeugendensystem von bilden, ist darauf ein -Algebrahomomorphismus nach festgelegt. Es kann also zu
maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben. Wir betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist offenbar -bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen -Modulhomomorphismus

Dieser ist wegen

auch mit der Multiplikation verträglich.