Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Affine Schemata/Einführung/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein kommutativer Ring und seien kommutative -Algebren.
Dann ist das Tensorprodukt
eine kommutative -Algebra und es gibt -Algebrahomomorphismen
und
Beweis
Die Multiplikationen auf bzw. auf führen zu -linearen Abbildungen und . Dies ergibt eine -bilineare Abbildung
und damit zu einer -linearen Abbildung
Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine -lineare Abbildung
auffassen, wodurch eine Multiplikation auf definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch
und allgemein durch
gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.
Beispiel
Zu einem kommutativen Ring und den Polynomringen und ist
Die Vorgabe und definiert den Einsetzungshomomorphismus
Die Zuordnung
ist -bilinear und definiert nach Fakt (2) einen -Modulhomomorphismus
Beide Abbildungen sind invers zueinander.
Beispiel
Zu einem kommutativen Ring und endlich erzeugten -Algebren und ist
Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in Beispiel begründet.
Beispiel
Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und
Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ist die Faser zu über gleich . Dies folgt aus
Satz
Beweis
Über die natürlichen -Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)
und
erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die und ein
-Algebraerzeugendensystem von bilden, ist darauf ein -Algebrahomomorphismus nach festgelegt. Es kann also zuDiese Abbildung ist offenbar -bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen -Modulhomomorphismus
Dieser ist wegen
auch mit der Multiplikation verträglich.