Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

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Beweis

Über die natürlichen - Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)

und

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die und ein -

Algebraerzeugendensystem von bilden, ist darauf ein -Algebrahomomorphismus nach festgelegt. Es kann also zu
maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben. Wir betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist offenbar - bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen - Modulhomomorphismus

Dieser ist wegen

auch mit der Multiplikation verträglich.