Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Über die natürlichen ${}R$-Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b,$

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die ${}a\otimes 1$ und ${}1\otimes b$ ein ${}R$-Algebraerzeugendensystem von ${}A\otimes _{R}B$ bilden, ist darauf ein ${}R$-Algebrahomomorphismus nach ${}S$ festgelegt. Es kann also zu

${}(\varphi ,\psi )\in \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,$

maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}(\varphi ,\psi )$ gegeben. Wir betrachten die Abbildung

$A\times B\longrightarrow S,\,(a,b)\longmapsto \varphi (a)\psi (b).$

Diese Abbildung ist offenbar ${}R$-bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\otimes _{R}B\longrightarrow S.$

Dieser ist wegen

${}{\begin{aligned}\theta (a_{1}\otimes b_{1}\cdot a_{2}\otimes b_{2})&=\theta (a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1}a_{2})\cdot \psi (b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1})\varphi (a_{2})\psi (b_{1})\psi (b_{2})\\&=\theta (a_{1}\otimes b_{1})\cdot \theta (a_{2}\otimes b_{2})\end{aligned}}$

auch mit der Multiplikation verträglich.

Zur bewiesenen Aussage