Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Produkteigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Über die natürlichen $R$ -Algebrahomomorphismen (siehe Fakt)

A ⟶ A \otimes_{R} B, a ⟼ a \otimes 1,

und

B ⟶ A \otimes_{R} B, b ⟼ 1 \otimes b,

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die $a \otimes 1$ und $1 \otimes b$ ein $R$ -Algebraerzeugendensystem von $A \otimes_{R} B$ bilden, ist darauf ein $R$ -Algebrahomomorphismus nach $S$ festgelegt. Es kann also zu

(φ, ψ) \in {Hom}_{R}^{a l g} (A, S) \times {Hom}_{R}^{a l g} (B, S)

maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei $(φ, ψ)$ gegeben. Wir betrachten die Abbildung

A \times B ⟶ S, (a, b) ⟼ φ (a) ψ (b) .

Diese Abbildung ist offenbar $R$ -bilinear, daher gibt es dazu nach Fakt einen $R$ -Modulhomomorphismus

θ : A \otimes_{R} B ⟶ S .

Dieser ist wegen

\begin{matrix} θ (a_{1} \otimes b_{1} \cdot a_{2} \otimes b_{2}) & = θ (a_{1} a_{2} \otimes b_{1} b_{2}) \\ = φ (a_{1} a_{2}) \cdot ψ (b_{1} b_{2}) \\ = φ (a_{1}) φ (a_{2}) ψ (b_{1}) ψ (b_{2}) \\ = θ (a_{1} \otimes b_{1}) \cdot θ (a_{2} \otimes b_{2}) \end{matrix}

auch mit der Multiplikation verträglich.

Zur bewiesenen Aussage