Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Multiplikationen auf bzw. auf führen zu - linearen Abbildungen und . Dies ergibt eine - bilineare Abbildung

und damit zu einer -linearen Abbildung

Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine -lineare Abbildung

auffassen, wodurch eine Multiplikation auf definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch

und allgemein durch

gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.