Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Ring und Ringhomomorphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Multiplikationen auf ${}A$ bzw. auf ${}B$ führen zu ${}R$-linearen Abbildungen ${}\mu _{A}\colon A\otimes _{R}A\rightarrow A$ und ${}\mu _{B}\colon B\otimes _{R}B\rightarrow B$. Dies ergibt eine ${}R$-bilineare Abbildung

${\left(A\otimes _{R}A\right)}\times {\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

und damit zu einer ${}R$-linearen Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}A\right)}\otimes _{R}{\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B.$

Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine ${}R$-lineare Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}B\right)}\otimes _{R}{\left(A\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

auffassen, wodurch eine Multiplikation auf ${}A\otimes _{R}B$ definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch

${}{\left(a_{1}\otimes b_{1}\right)}\cdot {\left(a_{2}\otimes b_{2}\right)}=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}\,$

und allgemein durch

${}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}\otimes b_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\otimes d_{j}\right)}=\sum _{i,j}a_{i}c_{j}\otimes b_{i}b_{j}\,$

gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.

Zur bewiesenen Aussage