Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Kern/Körperwechsel/Aufgabe/Lösung

Aus der Untervektorraumbeziehung

$\mathrm{kern}\phi \subseteq V$

folgt nach Fakt, dass eine Untervektorraumbeziehung

$L{\otimes }_K\mathrm{kern}\phi \subseteq L{\otimes }_{K}V$

vorliegt. Es ist zu zeigen, dass dieser Untervektorraum mit dem Kern von ${\mathrm{Id}}_L\otimes \phi$ übereinstimmt. Dabei ist die Inklusion

$L{\otimes }_K\mathrm{kern}\phi \subseteq \mathrm{kern}({\mathrm{Id}}_L\otimes \phi )$

klar, da ja die Gesamtabbildung

$\mathrm{kern}\phi ⟶V⟶W$

die Nullabbildung ist und sich dies auf das Tensorprodukt mit $L$ überträgt. Wir können auch $W$ durch den Bildraum

$B=\phi (V)$

ersetzen und haben dann die surjektiven Abbildungen

$V⟶B$

bzw.

$L{\otimes }_{K}V⟶L{\otimes }_{K}B.$

Nach Fakt  (5) ändern sich die Dimensionen bei Tensorierung nicht. Daher folgt die Gleichheit

$L{\otimes }_K\mathrm{kern}\phi =\mathrm{kern}({\mathrm{Id}}_L\otimes \phi )$

aus

der Dimensionsformel.

Zur gelösten Aufgabe