Tensorprodukt/Vektorräume/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man ${}L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Statt ${}L\otimes _{K}V$ schreibt man auch ${}V_{L}$.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}L\otimes _{K}V$ ist ein ${}L$-Vektorraum.
2. Es gibt eine kanonische ${}K$-lineare Abbildung

   $V\longrightarrow L\otimes _{K}V,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}K=L$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einer ${}K$-linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \colon L\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}W$

   eine ${}L$-lineare Abbildung.

4. Zu ${}V=K^{n}$ ist

   ${}L\otimes _{K}K^{n}\cong L^{n}\,.$

5. Zu einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist

   ${}\operatorname {dim} _{K}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{L}\left(L\otimes _{K}V\right)\,.$

6. Zu einer weiteren Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ ist

   ${}M\otimes _{K}V\cong M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $M$-Vektorräumen).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$L\times L\longrightarrow L,\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}L$-bilinear und insbesondere ${}K$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${}K$-linearen Abbildung

$L\otimes _{K}L\longrightarrow L.$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt eine ${}K$-lineare Abbildung

$L\otimes _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\cong {\left(L\otimes _{K}L\right)}\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}V.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$L\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow {\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}L=K$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}K\times V\rightarrow V$ induziert eine ${}K$-lineare Abbildung

$K\otimes _{K}V\longrightarrow V.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}V\rightarrow K\otimes _{K}V$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}V$, so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}K$-lineare Abbildung ${}V\rightarrow L\otimes _{K}V$. Dies führt zu einer ${}K$-multilinearen Abbildung

$M\times V\longrightarrow M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die eine ${}K$-lineare Abbildung

$M\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}L$-lineare Abbildung

$L\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{K}V.$

Rechts steht ein ${}M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}L$-multilineare Abbildung

$M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}L$-linearen Abbildung

$M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}M$-Multiplikationen entsprechen.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Erzeugendensystem von ${}L\otimes V$ ist.
2. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ${}K$-linear unabhängig in ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig (über ${}L$) in ${}L\otimes V$ ist.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$-Basis von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Basis von ${}L\otimes V$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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