Tensorprodukt/Vektorräume/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einem -Vektorraum über einem Körper und einer Körpererweiterung nennt man den durch Körperwechsel gewonnenen -Vektorraum.

Statt schreibt man auch .



Proposition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Tensorprodukt ist ein -Vektorraum.
  2. Es gibt eine kanonische -lineare Abbildung

    Bei ist dies ein Isomorphismus.

  3. Zu einer -linearen Abbildung ist die induzierte Abbildung

    eine -lineare Abbildung.

  4. Zu ist
  5. Zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum ist
  6. Zu einer weiteren Körpererweiterung ist

    (eine Isomorphie von -Vektorräumen).

Beweis  

(1). Die Multiplikation

ist -bilinear und insbesondere -bilinear und führt nach Fakt zu einer -linearen Abbildung

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt eine -lineare Abbildung

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

die explizit durch

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation induziert eine -lineare Abbildung

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung mit dieser Abbildung ist die Identität auf , so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung . Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung

die eine -lineare Abbildung

induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung

Rechts steht ein -Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung

auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.



Lemma

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung. Es sei , , eine Familie von Vektoren aus . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Familie , , ist genau dann ein -Erzeugendensystem von , wenn , , ein -Erzeugendensystem von ist.
  2. Die Familie , , ist genau dann -linear unabhängig (über ) in , wenn , , linear unabhängig (über ) in ist.
  3. Die Familie , , ist genau dann ein -Basis von , wenn , , ein -Basis von ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.