Es sei ein Körper und seinen -Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine
multilineare Abbildung
in einen weiteren -Vektorraum eine Abbildung
ist, die in jeder Komponente -linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung
derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung wie oben eine
lineare Abbildung
Es sei ein
Körper und seien
-Vektorräume.
Es sei der von sämtlichen Symbolen
(mit )
erzeugte
-Vektorraum
(wir schreiben die Basiselemente als ).
Es sei der von allen Elementen der Form
Die Bilder von in bezeichnet man wieder mit . Jedes Element aus besitzt eine
(nicht eindeutige)
Darstellung als
(mit und ).
Insbesondere bilden die
(zerlegbaren Tensoren)
ein
-Erzeugendensystem
des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
für beliebige .
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den -Vektorraum aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die bilden eine
Basis
von , daher legt die Vorschrift
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf
(eindeutige)
Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen -Vektorraum zusammen mit einer multilinearen Abbildung
derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen -Vektorraum eindeutig über mit einer linearer Abbildung von nach faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen und dem Tensorprodukt . Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.
ist klar, da die ein
-Erzeugendensystem
von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis
, ,
von können wir zu einer Basis
, ,
mit
von ergänzen. Sei
, ,
eine Basis von . Dann ist nach
Fakt
die Familie
, ,
eine Basis von und
, ,
ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ist. Also wird unter
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.