Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seinen ${}K$-Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$ eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

ist, die in jeder Komponente ${}K$-linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum ${}U$ konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow U$

derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung ${}\psi$ wie oben eine lineare Abbildung

$L\colon U\longrightarrow W$

gibt mit ${}\psi =L\circ \varphi$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}K$-Vektorräume. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit ${}v_{i}\in V_{i}$) erzeugte ${}K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,

erzeugte ${}K$-Untervektorraum von ${}F$. Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

bezeichnet.

Die Bilder von ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in ${}V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ besitzt eine (nicht eindeutige)

Darstellung als

$a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$

(mit $a_{i}\in K$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}K$-Erzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt

$v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}=v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\,$

für beliebige ${}i,j$.

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n},$

   ist ${}K$-multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$-lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ sind und

${}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den ${}K$-Vektorraum ${}F$ aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden eine Basis von ${}F$, daher legt die Vorschrift

${}{\tilde {\psi }}{\left(e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

eine lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon F\longrightarrow W$

fest. Wegen der Multilinearität von ${}\psi$ wird der Untervektorraum ${}U$ auf ${}0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine ${}K$-lineare Abbildung

${\overline {\psi }}\colon F/U\cong V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W.$

$\Box$

Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen ${}K$-Vektorraum ${}T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen ${}K$-Vektorraum ${}W$ eindeutig über ${}T$ mit einer linearer Abbildung von ${}T$ nach ${}W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen ${}T$ und dem Tensorprodukt ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U,V,W$ seien ${}K$-Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}U\otimes _{K}V\cong V\otimes _{K}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{K}{\left(V\otimes _{K}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\otimes _{K}W\,.$

3. Es ist

   ${}U\otimes _{K}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{K}W\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,Z$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einer ${}K$-linearen Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es eine natürliche ${}K$-lineare Abbildung ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}\colon U\otimes _{K}Z\rightarrow V\otimes _{K}Z$.
2. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ surjektiv.
3. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ injektiv.

Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$

ist klar, da die ${}v\otimes z$ ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

${}U\subseteq V\,$

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis ${}u_{i}$, ${}i\in I$, von ${}U$ können wir zu einer Basis ${}u_{i}$, ${}i\in J$, mit ${}I\subseteq J$ von ${}V$ ergänzen. Sei ${}z_{\ell }$, ${}\ell \in L$, eine Basis von ${}Z$. Dann ist nach Fakt  (3) die Familie ${}v_{j}\otimes z_{\ell }$, ${}(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von ${}V\otimes Z$ und ${}v_{i}\otimes z_{\ell }$, ${}(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ${}U\otimes Z$ ist. Also wird unter

$U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

$\Box$