Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Es sei ein Körper und seinen -Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum eine Abbildung

ist, die in jeder Komponente -linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung

derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung wie oben eine lineare Abbildung

gibt mit .


Definition  

Es sei ein Körper und seien -Vektorräume. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte -Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als ). Es sei der von allen Elementen der Form

  1. ,
  2. ,

erzeugte -Untervektorraum von . Dann nennt man den Restklassenraum das Tensorprodukt der , . Es wird mit

bezeichnet.

Die Bilder von in bezeichnet man wieder mit . Jedes Element aus besitzt eine (nicht eindeutige)

Darstellung als

(mit und ). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ein -Erzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt

für beliebige .

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.



Lemma  

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über .

  1. Die Abbildung

    ist -multilinear.

  2. Es sei ein weiterer -Vektorraum und

    eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung

    mit .

Beweis  

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ein -Erzeugendensystem von sind und

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den -Vektorraum aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die bilden eine Basis von , daher legt die Vorschrift

eine lineare Abbildung

fest. Wegen der Multilinearität von wird der Untervektorraum auf abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine -lineare Abbildung


Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen -Vektorraum zusammen mit einer multilinearen Abbildung derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen -Vektorraum eindeutig über mit einer linearer Abbildung von nach faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen und dem Tensorprodukt . Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.



Proposition

Es sei ein Körper und seien -Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe.




Proposition  

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einer -linearen Abbildung gibt es eine natürliche -lineare Abbildung .
  2. Wenn surjektiv ist, ist auch surjektiv.
  3. Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.

Beweis  

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

ist klar, da die ein -Erzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis , , von können wir zu einer Basis , , mit von ergänzen. Sei , , eine Basis von . Dann ist nach Fakt die Familie , , eine Basis von und , , ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ist. Also wird unter

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.