Es sei
ein Körper und
seinen
-Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine
multilineare Abbildung
in einen weiteren
-Vektorraum
eine Abbildung
-
ist, die in jeder Komponente
-linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum
konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung
-
derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung
wie oben eine
lineare Abbildung
-
gibt mit
.
Es sei
ein
Körper und
seien
-Vektorräume.
Es sei
der von sämtlichen Symbolen
(mit
)
erzeugte
-Vektorraum
(wir schreiben die Basiselemente als
).
Es sei
der von allen Elementen der Form
,
,
erzeugte
-Untervektorraum
von
. Dann nennt man den
Restklassenraum
das Tensorprodukt der
,
.
Es wird mit
-
bezeichnet.
Die Bilder von
in
bezeichnet man wieder mit
. Jedes Element aus
besitzt eine
(nicht eindeutige)
Darstellung als
-
(mit
und
).
Insbesondere bilden die
(zerlegbaren Tensoren)
ein
-Erzeugendensystem
des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
-

für beliebige
.
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.
Es sei
ein
Körper
und seien
Vektorräume
über
.
- Die
Abbildung
-
ist
-multilinear.
- Es sei
ein weiterer
-Vektorraum
und
-
eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
-lineare Abbildung
-
mit
.
(1) folgt unmittelbar aus der Definition des
Tensorprodukts.
(2). Da die
ein
-Erzeugendensystem
von
sind und
-

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den
-Vektorraum
aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die
bilden eine
Basis
von
, daher legt die Vorschrift
-

eine lineare Abbildung
-
fest. Wegen der
Multilinearität
von
wird der Untervektorraum
auf
abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach
dem Faktorisierungssatz
eine
-lineare Abbildung
-

Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf
(eindeutige)
Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen
-Vektorraum
zusammen mit einer multilinearen Abbildung
derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen
-Vektorraum
eindeutig über
mit einer linearer Abbildung von
nach
faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen
und dem Tensorprodukt
. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.
Beweis
Siehe
Aufgabe.

(1). Dies ist ein Spezialfall von
Fakt.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
-
ist klar, da die
ein
-Erzeugendensystem
von
bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
-

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis
,
,
von
können wir zu einer Basis
,
,
mit
von
ergänzen. Sei
,
,
eine Basis von
. Dann ist nach
Fakt (3)
die Familie
,
,
eine Basis von
und
,
,
ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von
ist. Also wird unter
-
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.
