Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition

Topologie

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch  ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$. 
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und  ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$  für alle  ${}i\in I$,  so ist auch  ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$. 

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.