Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 1

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Aufgabe (4 Punkte)

Sei das Einheitsintervall. Eine Teilmenge heißt offen in , wenn es für jeden Punkt ein gibt mit der Eigenschaft, dass für jedes mit schon gilt. Sei nun eine Menge und offen in für alle . Diskutieren Sie die folgenden Aussagen:

  1. Die Vereinigung ist offen in .
  2. Der Schnitt ist offen in .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass das Einheitsintervall nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer, in offener Teilmengen dargestellt werden kann. Man sagt hierzu: ist zusammenhängend.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweisen Sie den Zwischenwertsatz für reellwertige stetige Funktionen , etwa mit Hilfe von Aufgabe 2 dieses Arbeitsblattes.


Aufgabe (4 Punkte)

Das Möbiusband entsteht aus einem Rechteck durch Verkleben zweier gegenüberliegender Seiten, wobei eine Seite vor dem Verkleben um gedreht wird. Der Nullschnitt ist die Mittellinie. Zeigen Sie mit Hilfe einer Schere, dass das Komplement des Nullschnittes zusammenhängend ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ,

der -dimensionale Ball, und
das -dimensionale Standardsimplex.

Zeigen Sie, dass und topologisch äquivalent sind.