Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 13

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Überlagerungen

Definition  

Eine Überlagerung von ist eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass folgende Sachen existieren:

  1. Eine offene Überdeckung von .
  2. Eine Familie diskreter topologischer Räume .
  3. Eine Familie topologischer Äquivalenzen mit der Eigenschaft, dass .

Eine Überdeckung dieser Art heißt Elementar-Überdeckung von .


Beispiel  

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.

  1. Die Exponentialabbildung ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert . Sei (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere
    Dann ist eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung sieht so ähnlich aus.
  2. Die kanonische Abbildung ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
  3. Die Abbildung ist eine Überlagerung .
  4. Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
  5. Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
  6. Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf ist keine Überlagerung von .
  7. Die Hopf-Abbildung ist keine Überlagerung.

Wie üblich kann man aus alten Überlagerungen neue Überlagerungen basteln. Hier ist nur eine mögliche Methode.



Lemma  

Seien Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung

eine Überlagerung. Ist so ist auch die Abbildung

eine Überlagerung.

Beweis  

Sei eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

und analog

eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

Dann ist
eine Elementar-Überdeckung für , denn die Abbildungen

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist eine Überlagerung.

Sei nun . Die offene Überdeckung

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

Die Einschränkungen von und auf definieren eine topologische Äquivalenz

wobei die durch symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass eine Überlagerung ist.


Um zu zeigen, dass eine stetige Abbildung eine Überlagerung ist, muss man eine Elementar-Überdeckung finden. Dabei ist die Identifikation der diskreten topologischen Räume recht einfach. Denn eine gegebene topologische Äquivalenz

schränkt ein auf eine topologische Äquivalenz

Das Urbild eines Punktes nennt man oft Faser von bei .



Lemma  

Sei eine Überlagerung und zusammenhängend. Dann ist für alle .

Beweis  

Sei zunächst eine beliebige Überlagerung und eine Elementar-Überdeckung. Das obige Argument zeigt, dass für schon
gilt. Sei nun zusammenhängend, und
Dann ist offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung. Aus dem gleichen Grund ist aber auch offen. Da zusammenhängend ist, ist .


Also hängt die Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab.



Lemma  

Sei eine Überlagerung.

Dann ist offen für alle offen.

Beweis  

Sei offen. Um zu zeigen, dass offen ist, sei . Gesucht ist eine offene Menge mit . Sei hierzu eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von , sowie eine topologische Äquivalenz. Dann ist offen in . Weil

eine topologische Äquivalenz ist, ist auch offen in . Nun ist offen, also ist auch offen in . Aus folgt die Behauptung.




<< | Kurs: Topologie (Osnabrück 2008/2009) | >>