Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 14

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Liften von Homotopien

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Homotopien entlang der Überlagerung hochgehoben oder geliftet werden können. Diesen Sachverhalt haben wir schon bei der Berechnung der Homotopieklassen von Schlingen in bzw. bei der Bestimmung von zitiert. Die in diesem Fall verwendete Überlagerung ist die Exponentialabbildung



Satz  

Sei eine Überlagerung, eine Homotopie und eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass gilt für alle . Dann gibt es genau eine

Homotopie
mit der Eigenschaft, dass

und für alle .

Beweis  


Insbesondere kann man Wege liften.



Folgerung  

Sei eine Überlagerung, ein Weg und ein Punkt mit . Dann gibt es genau einen

Weg
mit der Eigenschaft, dass

und .

Beweis  


Man kann auch relative Homotopien liften.



Folgerung  

Sei eine Überlagerung, eine Homotopie relativ und ein Weg mit der Eigenschaft, dass gilt für alle . Dann gibt es genau eine

relative Homotopie
mit der Eigenschaft, dass

und für alle .

Beweis  



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