Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 15

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Der allgemeine Liftungssatz für Überlagerungen




Satz  

Sei ein lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum.

  1. Jede Weg-Zusammenhangskomponente von ist offen in .
  2. Als topologischer Raum ist die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten.
  3. Die Weg-Zusammenhangskomponenten von stimmen mit den Zusammenhangskomponenten überein.

Beweis  

Sei die Weg-Zusammenhangskomponente von . Nach Voraussetzung an existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung . Insbesondere ist . Somit ist offen nach Fakt. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.




Satz  

Sei eine Überlagerung und lokal weg-zusammenhängend.

Dann ist auch lokal weg-zusammenhängend. Ist eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von , so ist die Einschränkung auch eine Überlagerung.

Beweis  

Sei eine Umgebung. Sei weiter eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie eine topologische Äquivalenz. Dann ist auch eine Umgebung. Aus Fakt folgt, dass ebenfalls eine Umgebung ist. Sei nun eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist , also ist die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von .




Satz (Liftungssatz )  

Sei eine Überlagerung und ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Sei weiter und eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.

Es gibt eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume mit genau dann, wenn

gilt.

Die stetige Abbildung ist durch die Bedingungen und eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.

Beweis  

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Sei eine stetige Abbildung mit . Dann ist

Um die Abbildung aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei . Da zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist nach Fakt weg-zusammenhängend. Sei also ein Weg von nach . Nach Fakt gibt es genau einen Weg mit den Eigenschaften, dass und gilt. Setze nun . Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun zwei Wege in von nach . Dann ist eine Schleife in am Basispunkt . Insbesondere ist

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife mit der Eigenschaft, dass

Sei eine Homotopie von zu relativ zu . Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie mit der Eigenschaft, dass und . Aus und

folgt
denn ist zusammenhängend. Somit ist auch eine Homotopie relativ . Insbesondere ist die Abbildung eine Schleife an . Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife . Betrachte nun den Lift der Schleife

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife zum Anfangspunkt , und das haben wir mit der Einschränkung von auf bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an , also ist dies . Offensichtlich ist homotop relativ zu , was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

was zeigt, dass wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von . Sei und eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung mit . Diese konstruiert man wie folgt. Sei eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit . Sei weiter eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von auf ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

eine Umgebung von . Dann ist aber auch eine Umgebung von . Da stetig ist, gibt es eine Umgebung mit . Nun ist nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung . Die Behauptung ist nun, dass gilt. Denn sei . Zur Konstruktion von benötigen wir einen Weg von nach . Sei ein Weg von nach und sei ein Weg von nach , der ganz in verläuft. Dann ist ein Weg von nach . Der Endpunkt ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes zum Anfangspunkt . Da
eine topologische Äquivalenz ist und , ist der Lift zum Anfangspunkt ein Weg mit Bild in . Insbesondere ist der Endpunkt , was zu zeigen war.


Tatsächlich existiert die Abbildung bereits, wenn weg-zusammenhängend ist. Aber für die Stetigkeit von reicht dies nicht immer aus, wie folgendes Beispiel zeigt.



Beispiel  

Sei der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses des Graphen von und einem Kreisbogen von nach , der nicht trifft. Der topologische Raum ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass die triviale Gruppe ist. Sei und eine Abbildung, die auf abbildet und eine topologische Äquivalenz induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung
mit den Eigenschaften

Die Abbildung ist aber nicht stetig.




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