Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 16

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Die universelle Überlagerung

Das langfristige Ziel ist es, alle Überlagerungen eines gegebenen topologischen Raumes effizient zu beschreiben. Dies geschieht mit Hilfe von algebraischen Daten, die mit der Fundamentalgruppe des jeweiligen Raumes in Verbindung stehen. Tatsächlich kann man unter bestimmten Voraussetzungen jede zusammenhängende Überlagerung aus einer bestimmten, der sogenannten universellen Überlagerung, konstruieren.


Definition  

Ein topologischer Raum heißt einfach-zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten genau einen Weg in von nach bis auf Homotopie relativ gibt.

In anderen Worten: Ein topologischer Raum ist einfach-zusammenhängend, wenn und jeweils nur ein Element besitzen.


Beispiel  

  1. Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend.
  2. Die ist einfach-zusammenhängend genau dann, wenn gilt.


Definition  

Sei ein topologischer Raum. Eine Überlagerung heißt universelle Überlagerung, wenn der topologische Raum einfach-zusammenhängend ist.



Beispiel  

  1. Die Exponentialabbildung ist eine universelle Überlagerung.
  2. Die kanonische Projektion ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn gilt.

Die Existenz einer universellen Überlagerung impliziert eine bestimmte topologische Bedingung an den überlagerten Raum, die zunächst etwas gewöhnungsbedürftig ist (und heißt).



Lemma  

Sei lokal wegzusammenhängend und eine universelle Überlagerung. Dann gibt es für jedes eine offene Menge mit der Eigenschaft, dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus trivial ist.

Beweis  

Sei eine universelle Überlagerung, wobei lokal wegzusammenhängend ist. Ist , dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge und eine topologische Äquivalenz über , wobei ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Sei nun eine Wegzusammenhangskomponente von , dann ist die Einschränkung von eine topologische Äquivalenz. Sei , dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition

und die Fundamentalgruppe ist ja trivial.



Definition  

Ein topologischer Raum ist semilokal einfach-zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und jeder Punkt eine wegzusammenhängende Umgebung besitzt, so dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus

trivial ist. Eine solche Umgebung heißt Spezialumgebung.




Satz  

Jeder zusammenhängende und semilokal einfach-zusammenhängende topologische Raum besitzt eine universelle Überlagerung.

Beweis  

Gegeben eine universelle Überlagerung , so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Sei ein topologischer Raum und . Dann ist

die Menge der basierten Wege in . Die Auswertung eines basierten Weges an liefert die Endpunkt-Abbildung in die unterliegende Menge von . Auf ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ definiert. Sei die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in . Sind , so ist , da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung eine Abbildung

Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird zunächst mit einer Topologie versehen.

Sei nun semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist , so besitzt eine Spezialumgebung , die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Sei nun

die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg gefolgt von einem Weg , der ganz in verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge ist offen, wenn zu jedem eine offene Spezialumgebung existiert, so dass gilt. Offensichtlich sind und offen. Sind offen, so ist auch offen. Denn zu gibt es offene Spezialumgebungen

Sei die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge , die enthält. Weil lokal wegzusammenhängend ist, ist offen in nach dieser Aussage. Also ist eine offene Spezialumgebung von , denn der induzierte Gruppenhomomorphismus faktorisiert als

und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich

was die Offenheit von liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ein topologischer Raum.

Um zu zeigen, dass eine Überlagerung ist, sei wieder eine offene Spezialumgebung. Es ist
Denn zu gibt es genau eine relative Homotopieklasse eines Weges von nach mit Bild in . Somit liegt genau in der durch indizierten Menge . Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung
disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Sei nun die Einschränkung von und , dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse eines Weges von nach mit Bild in . Dies liefert eine Umkehrabbildung
Um die Stetigkeit von zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form zu betrachten, wobei und eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist
offen in . Somit ist eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist topologisch äquivalent zu dem Produkt , was zeigt, dass eine Überlagerung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Sei die Homotopieklasse des konstanten Weges an und . Sei ein Repräsentant von und für alle der Weg

gegeben. Dann ist
eine Abbildung mit und . Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung , so gibt es aufgrund der Stetigkeit von ein mit
. Insbesondere ist für jedes also , denn
Demnach ist ein Weg von nach , und ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald trivial ist. Sei also eine Schleife an und die induzierte Schleife an . Nun ist eine Überlagerung, also ist nach diesem Satz bereits nullhomotop, wenn es ist. Sei nun in obiger Notation, also . Dies ist ein Weg von zu mit der Eigenschaft, dass gilt. Die Eindeutigkeit aus dem Homotopie-Liftungssatz liefert nun , also insbesondere
was den Beweis beendet.



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