Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 17

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Abbildungen von Überlagerungen



Definition  

Seien Überlagerungen von . Eine Abbildung von Überlagerungen von nach ist eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass gilt. Ist zudem eine topologische Äquivalenz, so ist ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von nach wird mit bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von nach heißt . Diese Menge ist eine Gruppe unter Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von .

Sei ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, und die Fundamentalgruppe von . Ist eine Überlagerung, so operiert die Gruppe auf der Faser in folgender Weise. Sei und . Nach dem Homotopie-Liftungssatz gibt es einen Weg von zu mit , dessen Endpunkt nicht von der Wahl abhängt. Setze . Dies liefert eine Abbildung



Satz  

Sei ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, und die Fundamentalgruppe von . Sei weiter eine Überlagerung. Es gilt:

  1. Die Abbildung ist eine rechte -Operation.
  2. Die Menge der Bahnen ist isomorph zu .
  3. Für jedes stimmt die Standgruppe überein mit dem Bild .
  4. Ist eine Abbildung von Überlagerungen von , so ist die Einschränkung
    eine Abbildung von rechten -Mengen.

Beweis  

  1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen und für alle und gelten. Sei der Lift von zum Anfangspunkt und der Lift von zum Anfangspunkt . Dann ist der Lift von zum Anfangspunkt . Die Gleichung
    liefert dann die Identität . Der Lift der konstanten Schleife zum Anfangspunkt ist die konstante Schleife , was die Identität liefert.
  2. Sind zwei Punkte in derselben Bahn, also für ein , so gibt es insbesondere einen Weg in von nach . Die Komposition der Inklusion und der kanonische Projektion induziert also eine Abbildung

    Die Abbildung ist injektiv. Denn wenn und ein Weg in von nach ist, so ist eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass . Die Abbildung ist surjektiv. Denn wenn beliebig ist, so gibt es in einen Weg von nach -- schließlich ist weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ist ein Weg zu einem Element in .

  3. Sei nun und derart, dass . Dann ist aber der Lift von zum Anfangspunkt eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass

    Es folgt, dass . Ist hingegen eine Schleife an , so ist , was die Inklusion zeigt.

  4. Sei eine Abbildung von Überlagerungen. Ist , so gilt ja wegen auch . Demnach schränkt auf eine Abbildung
    ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten -Mengen ist, sei . Ist der Lift von zum Anfangspunkt , so ist der Lift von zum Anfangspunkt . Denn . Somit ist

    was zeigt, dass eine Abbildung von rechten -Mengen ist.




Satz  

Sei ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum, und Überlagerungen von . Die Abbildung

ist bijektiv.

Beweis  

Sei eine Abbildung von rechten -Mengen. Um diese zu einer Abbildung von Überlagerungen von zu erweitern, sei eine Wegzusammenhangskomponente von . Da nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung von Überlagerungen anzugeben, die auf mit übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Sei und . Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung mit genau dann, wenn gilt. Nach obigem Satz ist . Weil eine Abbildung von rechten -Mengen ist, gilt . Wieder nach obigem Satz ist . Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung mit , die auf mit übereinstimmt. Nun ist jedes Element in nach obigem Satz von der Form für ein . Dies impliziert, dass auf ganz mit übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung von Überlagerungen von schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.




Satz  

Sei ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von ist isomorph zur Fundamentalgruppe von .

Beweis  

Sei eine universelle Überlagerung, wobei zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Sei weiter und . Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von isomorph zur Automorphismengruppe der -Menge . Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit bezeichnet werde, isomorph zu ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle . Sei weiter die rechte -Menge mit unterliegender Menge und Operation
wobei die Multiplikation auf ist. Die Abbildung
ist eine Abbildung von -Mengen, denn
Des weiteren ist bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

trivial ist. Es folgt, dass
Sei nun
dann ist ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist injektiv, denn die Abbildung ist die Identität genau dann, wenn gilt. Sei ein -Automorphismus von . Dann ist

was die Surjektivität liefert.


Einen anderen Beweis des Satzes erhält man durch die Inspektion der Konstruktion einer universellen Überlagerung. Ist der Basispunkt eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes, so ist die unterliegende Menge von gegeben durch die relativen Homotopieklassen von Wegen in , die bei beginnen. Offensichtlich ist die Faser der Überlagerung bei identisch mit der unterliegenden Menge der Fundamentalgruppe . Man beachte, dass diese Faser die Homotopieklasse des konstanten Weges als ausgezeichneten Punkt besitzt.

Den Satz kann man dazu benutzen, Fundamentalgruppen topologischer Räume zu bestimmen.


Beispiel  

Sei die kanonische Überlagerung und . Dann ist einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von isomorph zur Fundamentalgruppe von . Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung . Also ist die Fundamentalgruppe von die Gruppe mit zwei Elementen.


Sei nun eine Untergruppe der Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes. Diese Gruppe operiert vermöge der obigen Isomorphie auf dem Totalraum einer universellen Überlagerung . Sei der Raum der -Bahnen, versehen mit der Quotientenraumtopologie. Seien weiter die kanonische und die durch induzierte Abbildung. Dann gilt folgender Sachverhalt.



Satz  

Sei ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, und eine Untergruppe. Die Abbildung ist eine Überlagerung, und es gilt für jedes .

Beweis  

Sei eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz . Die Gruppe operiert auf durch Decktransformationen und auf durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von -Räumen. Es folgt, dass
was im Wesentlichen zeigt, dass eine Überlagerung von ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.


Zusammenfassend gilt also folgendes: Ist ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, so gibt es zu jeder Untergruppe eine zusammenhängende Überlagerung mit .



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