Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 6

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Verklebungen

Ziel ist es, an einen gegebenen topologischen Raum etwas anzukleben, um einen neuen topologischen Raum zu erhalten. Verklebungen kann man in großer Allgemeinheit diskutieren; besonders relevant ist jedoch der Spezialfall des Anklebens von Zellen. Als erstes diskutieren wir Verklebungen, bei denen nichts verklebt wird. Diese Verklebungen nennt man auch disjunkte Vereinigungen.



Wie bei den Produkten gibt es auch die disjunkte Vereinigung beliebig vieler topologischer Räume. Des weiteren hat auch die disjunkte Vereinigung eine universelle Eigenschaft, deren Formulierung und Beweis der geneigten Leserin überlassen wird.





Bevor echte Verklebungen in Erscheinung treten können, ist noch ein Begriff erforderlich.





Definition  

Sei eine abgeschlossene Einbettung und eine stetige Abbildung. Der Quotientenraum der disjunkten Vereinigung bezüglich der von

erzeugten Äquivalenzrelation wird mit bezeichnet. Man sagt, der Raum entsteht durch Verkleben von und entlang . Die Abbildung ist die Anklebe-Abbildung.


Beispiel  

Sei und die konstante Abbildung, dann ist . Ist hingegen die Identität, so ist . Die beiden Räume sind nicht topologisch äquivalent.




Lemma  

Sei eine abgeschlossene Einbettung und eine stetige Abbildung. Die kanonische Abbildung
ist eine abgeschlossene Einbettung. Die kanonische Abbildung induziert eine offene Einbettung
Die unterliegende Menge von ist die disjunkte Vereinigung der Bilder dieser beiden Einbettungen.

Beweis  

Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn

  1. , oder
  2. , oder
  3. , oder

gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung muss nicht injektiv sein.) Ist irgendeine Teilmenge, so ist

Insbesondere ist in abgeschlossen genau dann, wenn in abgeschlossen ist, also ist eine abgeschlossene Einbettung. Ist irgendeine Teilmenge, so ist

Somit ist offen in genau dann, wenn offen ist in , also ist eine offene Einbettung.




Lemma  

Sei eine abgeschlossene Einbettung und eine stetige Abbildung. Seien und stetige Abbildungen mit der Eigenschaft, dass gilt. Dann gibt es genau eine stetige Abbildung
derart,

dass und gilt.

Beweis  

Dies folgt aus den entsprechenden universellen Eigenschaften der disjunkten Vereinigung bzw. des Quotientenraumes.



Definition  

Sei eine Menge und für jedes eine stetige Abbildung gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung

Der Raum

entsteht durch Ankleben von -Zellen an . Die Abbildung ist die Anklebe-Abbildung. Allgemeiner sagt man, eine Abbildung entsteht durch Ankleben von -Zellen, wenn es eine stetige Abbildung

und eine topologische Äquivalenz gibt, so dass die kanonische Abbildung ist.


Beispiel  

Sphäre, Torus, Fläche vom Geschlecht g.




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