Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich

Einleitung

In der Funktiontheorie betrachtet man die Riemannsche Zahlenkugel. Dabei werden die komplexen Zahlen um einen Punkt erweitert. Dabei wird die Konvergenz gegen unendlich geometrische als Konvergenz gegen "Nordpol" der Riemannschen Zahlenkugel interpretiert. Dies führt zu Umgebungen $U\in {\mathfrak {U}}(\infty )$ von $\infty$ , dessen Umgebungsbasis die Komplemente von abgeschlossenen Einheitskreisschreiben beschrieben werden können.

U_{r}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|>r\}\in {\mathfrak {U}}(\infty )

Definition - Konvergenz gegen Unendlich

Sei $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ und $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Ein Netz $(v_{i})_{_{i\in I}}\in V^{I}$ konvergiert gegen $\infty$ in dem topologischen Vektorraum $V$ , wenn gilt:

{\stackrel {\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}{\lim _{i\to \infty }}}v_{i}=\infty \,\,\,\,:\Longleftrightarrow \,\,\,\,{\underset {\alpha \in {\mathcal {A}}}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {r>0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {i_{r}\in I}{\exists }}\,\,\,\,{\underset {i\succeq i_{r}}{\forall }}\,\,\,\,\|v_{i}\|_{\alpha }>r

Äquivalente Kriterien

Die folgenden Kriterien sind äquivalent zur obigen Definition stellen formal einen Bezug den klassischen $\varepsilon$ -Umgebungen dar.

{\stackrel {\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}{\lim _{i\to \infty }}}v_{i}=\infty \,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,{\underset {\alpha \in {\mathcal {A}}}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {i_{\varepsilon }\in I}{\exists }}\,\,\,\,{\underset {i\succeq i_{\varepsilon }}{\forall }}\,\,\,\,\|v_{i}\|_{\alpha }>{\frac {1}{\varepsilon }}

Umgebungen von Unendlich

Analog zu den Umgebungen von $\infty$ in den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ definiert man eine Umgebungsbasis von $\infty$ in dem topologischen Vektorraum $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ .

U_{(\alpha ,r)}:=\{z\in V\,:\,\|v\|_{\alpha }>r\}\in {\mathfrak {U}}(\infty )

Damit kann man die Konvergenz gegen $\infty$ auch über diese Umgebungen wie folgt ausdrücken:

{\stackrel {\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}{\lim _{i\to \infty }}}v_{i}=\infty \,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,{\underset {(\alpha ,r)\in {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} ^{+}}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {i_{r}\in I}{\exists }}\,\,\,\,{\underset {i\succeq i_{r}}{\forall }}\,\,\,\,v_{i}\in U_{(\alpha ,r)}

Siehe auch

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