Topologische Gruppe/Homogenität/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei  ${}P=e_{G}$  das neutrale Element der Gruppe. Die Abbildung

$\varphi _{Q}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x\cdot Q,$

bildet ${}e_{G}$ auf ${}Q$ ab und ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

$\varphi _{Q^{-1}}\colon G\longrightarrow G,\,y\longmapsto y\cdot Q^{-1}.$

Da man ${}\varphi _{Q}$ als Hintereinanderschaltung

$G{\stackrel {\operatorname {Id} _{G}\times Q}{\longrightarrow }}G\times G{\stackrel {\cdot }{\longrightarrow }}G$

auffassen kann, ist ${}\varphi _{Q}$ stetig. Entsprechendes gilt für ${}\varphi _{Q^{-1}}$.

Zur bewiesenen Aussage