Normen, Metriken, Topologie

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verwendet (siehe Wiki2Reveal). Ferner gibt es ein Quiz zu dieser Lernressource.

Intro

Topologischer Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich

intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und
„Konvergenz gegen“ aus den reellen Zahlen $ℝ$ bzw. aus dem $ℝ^{n}$

auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen).

Topologie allgemein

Definition - Topologie

Eine Topologie ist ein Mengensystem $𝒯$ bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge $X$ , für die die folgenden definierenden Eigenschaften erfüllt sind

(T1) $\emptyset, X \in 𝒯$
(T2) $U \cap V \in 𝒯$ für alle $U, V \in 𝒯$ .
(T3) Für eine beliebige Indexmenge $I$ und $U_{i} \in 𝒯$ für alle $i \in I$ gilt: $⋃_{i \in I} U_{i} \in 𝒯$ .

Eine Menge $X$ zusammen mit einer Topologie $𝒯$ auf $X$ heißt topologischer Raum $(X, 𝒯)$ .

Definition Topologie

Bemerkung - abgeschlossene Mengen

Mit der Definition aller offenen Mengen in $X$ durch die Topologie $𝒯$ sind auch alle abgeschlossenen Mengen als Komplement einer offenen Menge $U \in 𝒯$ definiert.

A \subseteq X abgeschlossen : ⟺ \exists_{U \in 𝒯} : A = X ∖ U = U^{c}

Definition - offener Kern einer Menge

Sei in $M \subseteq X$ in dem topologischen Raum $(X, 𝒯)$ , dann ist der offene Kern $\overset{\circ}{M}$ als die "größte" in $M$ enthaltene offene Menge definiert:

\overset{\circ}{M} := ⋃_{U \in 𝒯, U \subseteq M} U

Bemerkung - offener Kern

Da in der Defintion $\overset{\circ}{M}$ als Vereinigung von offenen Mengen $U \in 𝒯$ dargestellt ist, ist $\overset{\circ}{M} \in 𝒯$ offen nach Eigenschaft (T3).

Definition - Abschluss einer Menge

Sei in $M \subseteq X$ in dem topologischen Raum $(X, 𝒯)$ , dann ist der Abschluss $\overline{M}$ als die "kleinste" abgeschlossene Menge definiert, die $M$ enthält:

\overline{M} := ⋂_{U \in 𝒯, U^{c} \supseteq M} U^{c}

Bemerkung - Abschluss einer Menge

Da in der Defintion $\overline{M}$ als Schnitt von abgeschlossenen Mengen $U^{c}$ mit $U \in 𝒯$ dargestellt ist, ist $\overline{M}$ als Komplement einer beliebigen Vereinigung von offenen Mengen abgeschlossen:

\overline{M} := ⋂_{U \in 𝒯, U^{c} \supseteq M} U^{c} = (\underset{\in 𝒯}{\underset{⏟}{⋃_{U \in 𝒯, U^{c} \supseteq M} U}})^{c}

Definition - Rand einer Menge

Sei $M \subseteq X$ eine Menge in dem topologischen Raum $(X, 𝒯)$ , dann der Rand einer Menge aus dem Abschluss der Menge $M$ ohne den offenen Kern $\overset{\circ}{M}$ von $M$ . Der Rand wird daher wie folgt definiert:

\partial M := \overline{M} ∖ \overset{\circ}{M}

.

Bemerkung

Die Mengen $X, \emptyset$ sind per Definition offen und wechselseitig bilden die beiden Mengen jeweils die Komplemente zu einander. Damit sind diese beiden Mengen zugleich offen und abgeschlossen. Daher haben die beiden Mengen keine Randpunkte.

Bemerkung - von offenen Mengen zu Umgebungen

Sobald ein Mengensystem $𝒯$ offenen Menge auf einem Grundraum $X$ definiert ist, erhält man auch einen Umgebungsbegriff von Punkten aus $x \in X$ . Siehe dazu auch

Relativtopologie

Ein Relativtopologie bezeichnet eine induzierte Topologie von einem Grundraum $X$ auf eine Teilmenge $Y \subset X$ . Wenn man z.B. die Stetigkeit von Wegen $γ : [a, b] \to X$ in einen topologischen Raum $(X, 𝒯)$ betrachten möchte, benötigt man die Topologie auf $[a, b] \in ℝ$ , wobei die euklische Topologie auf $ℝ$ die Topologie auf $[a, b]$ definiert.

Definition - Relativtopologie

Es sei $X$ die Grundmenge eines topologischen Raums $(X, 𝒯)$ und $Y \subseteq X$ eine Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf $Y$ die Topologie

𝒯_{Y} = {U \cap Y ∣ U \in 𝒯} .

Bemerkung - Relativtopologie

Die offenen Teilmengen von $Y$ sind also genau die Schnitte der offenen Teilmengen $U$ von $X$ mit $Y$ .

Relativtopologie auf reellen Intervallen

Sei $[a, b] \in ℝ$ ein reelles Intervall mit $a < b$ . Die Relativtopologie der euklische Topologie $𝒯_{ℝ}$ auf $ℝ$ auf das Intervall $[a, b]$ ist dann wie folgt definiert:

𝒯_{[a, b]} = {U \cap [a, b] ∣ U \in 𝒯_{ℝ}}

Damit ist z.B. das halboffene Intervall $[a, b - ε) \in 𝒯_{[a, b]}$ offen in $[a, b]$ für alle $ε > 0$ , denn $U_{ε} := (a - ε, b - ε]$ ist ein offenes Intervall in $ℝ$ und es gilt $[a, b - ε) = U_{ε} \cap [a, b]$ .

Konvergenz in topologischen Räumen

In der Analysis ist die Konvergenz von Folgen eine zentrale Definition, um darauf aufbauende Begriffe wie Stetigkeit, Differenz und Integrale zu definieren. Folgen $(a_{n})_{n \in ℕ}$ mit $ℕ$ als Indexmenge sind in allgemeinen topologischen Räumen ungeeignet Konvergenz zu definieren, da die Indexmenge $ℕ$ bzgl. der Umgebungsbasis nicht mächtig genug ist. Dies ist nur dann möglich, wenn der topologische Raum eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Daher geht man entweder zu Netzen oder Filtern über

Beispiel: Topologie auf Texten

In der Regel geht man davon aus, dass Topologien auf mathematischen Räumen definiert werden (z.B. Zahlenräume, Funktionenräume, (topologische) Gruppen, Vektorräume, ...). Die Allgemeinheit der Definition macht es aber auch möglich, eine Topologie auf Texten zu definieren. Dieses Beispiel wurde ergänzt, weil rein anschaulich z.B. Texte in der deutschen Sprache

eine ähnliche Aussage haben können und
unterschiedliche Wörter verwenden.

Diese Ähnlichkeit der Semantik oder auch Syntax wird als Übung in "Topologie auf Texten" näher untersucht.

Ähnlichkeit von Wörter durch Metrik beschreiben

Stellen Sie von gesprochenen Wörtern die Buchstabenanzahl und die Menge der vorkommenden Buchstaben als Tabelle dar. Wie kann man aus der tabellarische Aufstellung einen Abstand von Wörtern ableiten. machen Sie dazu einen Vorschlag. Welche Eigenschaften hat die von Ihnen vorgeschlagene Abstandsfunktion. Ist es eine Metrik auf dem Raum der Wörter?

Aufgabe - Abstand zwischen Wörtern

Betrachten Sie die Wörter "Eimer", "Eimr", "Eimerr". Wie können Sie die Unterschiede der Wörter durch eine Metrik ausdrücken
Phonetische Ähnlichkeit Wörter "Aihmähr" und "Eimer" haben eine phonetische Ähnlichkeit, aber von der Sequenz von Buchstaben unterscheiden sich die Schreibweisen stark. Wie können Sie Ähnlichkeit von gesprochen Wörtern (Spracherkennung) durch eine phonetische Schreibweise notieren und in dieser Notation der Phoneme eine Ähnlichkeit der Wörter ebenfalls ausdrücken.

Klassifikation topologischer Räume

Hierarchie Topologischer Räume

Bedeutung: Notation Topologie

(T1) $\emptyset, X \in 𝒯$ leere Menge und die Grundmenge $X$ sind offene Mengen
(T2) $U \cap V \in 𝒯$ für alle $U, V \in 𝒯$ : Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
(T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge.

Semantik: Metrik

Eine Metrik $d$ ordnet mit $d (x, y)$ zwei Elementen $x, y \in X$ aus einem Grundraum $X$ den Abstand $d (x, y)$ zwischen $x$ und $y$ zu.

Definition: Metrik

Sei $X ≠ \emptyset$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d : X \times X \to ℝ$ heißt Metrik auf $X$ , wenn für beliebige Elemente $x$ , $y$ und $z$ von $X$ die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

(M1) Trennung: $d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ ,
(M2) Symmetrie: $d (x, y) = d (y, x)$ ,
(M3) Dreiecksungleichung: $d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)$ .

Definition: Metrischer Raum

Sei $d : X \times X \to ℝ$ auf $X ≠ \emptyset$ eine Metrik, dann nennt bezeichnet mit $(X, d)$ eine metrischen Raum.

Aufgabe

Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum ist.

Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung

Nicht-Negativität

Aus den drei Eigenschaften der Metrik folgt die Nicht-Negativität, d.h. für alle $x, y \in X$ gilt. $d (x, y) \geq 0$ . Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Eigenschaften mit:

0 = \frac{1}{2} d (x, x) \leq \frac{1}{2} (d (x, y) + d (y, x)) =

$= \frac{1}{2} (d (x, y) + d (x, y)) = d (x, y) .$

Definition - Halbmetrik

Sei $X$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d : X \times X \to ℝ$ heißt Pseudometrik, Halbmetrik oder Spanne, wenn für beliebige Elemente $x$ , $y$ und $z$ von $X$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(HM1) $d (x, x) = 0$ ,
(HM2) $d (x, y) = d (y, x)$ (Symmetrie) und
(HM3) $d (x, y) \leq d (x, z) + d (z, y)$ (Dreiecksungleichung).

Offene Mengen in metrischen Räumen

In einem metrische Raum $(X, d)$ definiert man eine Menge $U \subset X$ als offen (d.h. $U \in 𝒯_{d}$ ), wenn es zu jedem $u \in U$ ein $ϵ > 0$ gibt, dass die $ϵ$ -Kugel $B_{ϵ}^{d} (u) := {x \in X | d (x, u) < ϵ}$ ganz in $U$ liegt (d.h. $B_{ϵ}^{d} (u) \subset U$ )
Zeigen Sie, dass mit diesem definierten $𝒯_{d}$ das Paar $(X, 𝒯_{d})$ ein topologischer Raum ist (d.h. (T1), (T2), (T3) erfüllt).

Norm auf Vektorräumen

Eine Norm ist eine Abbildung $‖ \cdot ‖$ von einem Vektorraum $V$ über dem Körper $𝕂$ der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen $ℝ_{0}^{+}$ . Dabei ordnet die Norm jedem Vektor $x \in V$ seine Länge $‖ x ‖$ zu.

Definition: Norm

Sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum und $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{0}^{+}, x \mapsto ‖ x ‖,$ eine Abbildung Erfüllt $‖ \cdot ‖$ die folgenden Eigenschaften N1,N2, N3, so heißt $‖ \cdot ‖$ Norm auf $V$ .

(N1) Definitheit: $‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = 𝟘_{V}$ für alle $x \in V$ ,
(N2) absolute Homogenität: $‖ λ \cdot x ‖ = | λ | \cdot ‖ x ‖$ für alle $x \in V$ und $λ \in 𝕂$
(N3) Dreiecksungleichung: $‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ für alle $x, y \in V$ .

Definition Halbnorm

Gelten für ein Funktional nur die Bedingungen (N2) und (N3) dann nennt man dieses Funktional Halbnorm.

Bemerkung: N1

Das Eigenschaft (N1) ist eigentlich eine Äquivalenz und es gilt in jedem normierten Raum ( $𝟎_{V} \in V$ ist der Nullvektor in $V$ und $0 \in 𝕂$ ist die Null im Körper $𝕂$ , wenn $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum ist).

(N1)' Definitheit: $‖ x ‖ = 0 \Leftrightarrow x = 𝟎_{V}$ für alle $x \in V$ ,
Da man für Definitionen ein Minimalitätsprinzip für die definierenden Eigenschaft verwendet, würde man keine stärkere Formulierung (N1)' in der Definition für (N1) verwenden, da die Äquivalenz aus den definierenden Eigenschaften der Norm den Eigenschaften des Vektorraumes bereits für jeden normierten Raum folgen.

x \equiv 𝟎_{V} \Rightarrow ‖ x ‖ = ‖ 0 \cdot 𝟎_{V} ‖ = | 0 | \cdot ‖ 𝟎_{V} ‖ = 0

Normierter Raum / Metrischer Raum

Ein normierter Raum $(V, ‖ \cdot ‖)$ ist zugleich auch ein metrischer Raum.

Ein Norm $‖ \cdot ‖$ ordnet einem Vektor $v \in V$ seine Vektorlänge $‖ v ‖$ zu.
Mit der Norm $‖ \cdot ‖$ kann man über $d (x, y) := ‖ x - y ‖$ eine Metrik definieren, die den Abstand zwischen $x$ und $y$ angibt.

Aufgabe: Metrik aus gegebener Norm generieren

Sei $(V, ‖ \cdot ‖)$ ein normierter Raum mit der Norm $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{o}^{+}$ . Zeigen Sie, dass die definierte Abbildung $d : V \times V \to ℝ$ mit $d (x, y) := ‖ x - y ‖$ die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

Notation: Norm

In der Eigenschaft (N2) $‖ λ \cdot x ‖ = | λ | \cdot ‖ x ‖$ bezeichnet $| \cdot |$ den Betrag des Skalars. " $\cdot$ "-Zeichen: Äußere Verknüpfung im Vektorraum bzw. Multiplikation $(ℝ, \cdot)$ .
$‖ x ‖$ gibt die Länge des Vektors $x \in V$ an.
In (N3) $‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ für alle $x, y \in V$ . " $+$ "-Zeichen bezeichnet zwei unterschiedliche Verknüpfungen (d.h. Addition in $(V, +)$ bzw. $(ℝ, +)$

Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung

Def: Konvergenz im normierten Raum

Sei $(V, ‖ \cdot ‖)$ ein normierter Raum und $(v_{n})_{n \in ℕ} \in V^{ℕ}$ eine Folge in $V$ und $v_{o} \in V$ :

{lim}_{n \to \infty}^{‖ \cdot ‖} v_{n} = v_{o} : ⟺ \forall_{ϵ > 0} \exists_{n_{ϵ} \in ℕ} \forall_{n \geq n_{ϵ}} : ‖ v_{n} - v_{o} ‖ < ϵ

audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Def: Konvergenz im metrischen Raum

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(x_{n})_{n \in ℕ} \in X^{ℕ}$ eine Folge in $X$ und $x_{o} \in X$ :

{lim}_{n \to \infty}^{d} x_{n} = x_{o} : ⟺ \forall_{ϵ > 0} \exists_{n_{ϵ} \in ℕ} \forall_{n \geq n_{ϵ}} : d (x_{n}, x_{o}) < ϵ

Def: Cauchy-Folgen in metrischen Räumen

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(x_{n})_{n \in ℕ} \in X^{ℕ}$ eine Folge in $X$ . $(x_{n})_{n \in ℕ}$ heißt Cauchy-Folge in $X^{ℕ}$ :

\forall_{ϵ > 0} \exists_{n_{ϵ} \in ℕ} \forall_{m, n \geq n_{ϵ}} : d (x_{n}, x_{m}) < ϵ

Äquivalenz: Normen

Seien zwei Normen $‖ \cdot ‖_{1}$ und $‖ \cdot ‖_{2}$ auf dem $𝕂$ -Vektorraum $V$ gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

\exists_{C_{1}, C_{2} > 0} \forall_{x \in V} : C_{1} ‖ x ‖_{1} \leq ‖ x ‖_{2} \leq C_{2} ‖ x ‖_{1}

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in $‖ \cdot ‖_{1}$ konvergiert, wenn es auch bzgl. $‖ \cdot ‖_{2}$ konvergiert.

audio17_aequivalenz_normen.ogg

Äquivalenz von topologieerzeugende Funktionalen

Die Äquivalenz von Normen ist ein Spezialfall von topologieerzeugende Funktionalen, sogenannten Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen.

Betrag in komplexen Zahlen

Sei $z = z_{1} + i \cdot z_{2} \in ℂ$ eine komplexe Zahl mit $z_{1}, z_{2} \in ℝ$ . Zeigen Sie, dass $| z | := \sqrt{z \cdot \overline{z}}$ eine Norm auf dem $ℝ$ -Vektorraum $ℂ$ ist!

audio18_norm_komplexe_zahlen.ogg

Historische Anmerkung: Norm

Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt. Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand $‖ x - y ‖$ zwischen Vektoren $x$ und $y$ verwendet.

Aufgaben

In den folgenden Aufgaben geht es darum, definierende Eigenschaften einer Norm, einer Metrik oder allgemein eines topologischen Raumes nachzuweisen.

Aufgabe: Metrische Räume

Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung $d$ auf $V := 𝒞 ([a, b], ℝ)$ mit $a, b \in ℝ$ als Menge der stetigen Abbildungen von dem Intervall $[a, b]$ nach $ℝ$ eine Metrik ist.

d : V \times V \to ℝ

mit

(f, g) \mapsto d (f, g) := \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x .

Weisen Sie also die 3 Eigenschaften einer Metrik $d$ nach. Berechnen Sie dann den Abstand zwischen den beiden Funktionen $f (x) := x^{2}$ und $g (x) := x^{3} - 2 x + 2$ mit $a = - 1$ und mit $b = 3$ !

Optionale Aufgabe: Normierte Räume

Zeigen Sie, dass der metrische Raum $(V, ‖ \cdot ‖) := (𝒞 ([a, b], ℝ), ‖ \cdot ‖)$ mit

‖ f ‖ := \int_{a}^{b} | f (x) | d x

nicht vollständig ist. Betrachten Sie dazu z.B. stetige Funktionen, die stückweise aus linearen und konstanten Funktionen definiert sind.

Funktionenfolge definieren

Sei $[a, b] := [- 2, + 2]$ und definieren Sie eine Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ mit expliziten Funktionen $f_{n} : [a, b] \to ℝ$ mit Funktionsterm.

$f_{n} (x) = 0$ für alle $x \notin [- \frac{1}{n}, + \frac{1}{n}]$ für alle $n \in ℕ$ .
$f_{n} (x) = 0$ für alle $n \in ℕ$ .
der Graph von $f_{n}$ interpoliert die Punkte $(- \frac{1}{n}, 0)$ $(0, 1)$ bzw. $(0, 1)$ und $(\frac{1}{n}, 0)$ .

Zeigen Sie, dass ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge in dem oben definierte Funktionenraum $(𝒞 ([a, b], ℝ), ‖ \cdot ‖)$ ist und die Folge keinen Grenzwert in $𝒞 ([a, b], ℝ)$ besitzt.

Aufgabe: Topologische Räume

Betrachten Sie als Grundmenge des toplogischen Raumes das Intervall $X := [0, 3]$ und die Mengen $𝔈_{k}$ , die die Topologie $𝒯_{k}$ enthalten soll. Erweitern Sie die Erzeugermenge minimal $𝔈_{k}$ mit weiteren Menge, damit $𝒯_{k}$ mit $𝔈_{k} \subseteq 𝒯_{k}$ zu einem topologischen Raum wird.

$𝔈_{1} := {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}$ besteht aus 3 offenen Intervallen
$𝔈_{2} := {(0, 2), (1, 3)}$ besteht aus 2 offenen Intervallen
$𝔈_{2} := [0, 3]$ , wobei der Erzeuger der Topologie alle Einpunktmengen aus $X = [0, 3]$ enthalten soll.