Topologischer Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$. Unter dem Ausbreitungsraum zu ${}{\mathcal {G}}$ versteht man die Menge

${}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }:=\biguplus _{x\in X}{\mathcal {G}}_{x}\,$

zusammen mit der Projektion

$p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X,$

die einem jeden Keim ${}(x,t)$ seinen Basispunkt ${}x$ zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die Basis

${}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$

zu offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und Schnitten ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ definiert wird.

Statt Ausbreitungsraum sagt man auch etaler Raum. Ein Element in diesem Ausbreitungsraum schreibt man als ${}(x,t)$, wobei ${}x\in X$ und ${}t\in {\mathcal {G}}_{x}$ ein Keim der Garbe im Punkt ${}x$ ist. Die Zugehörigkeit ${}(x,t)\in (U,s)$ bedeutet, dass ${}x\in U$ und der Schnitt ${}s$ auf den Keim ${}t$ einschränkt.

Lemma

Der Ausbreitungsraum ${}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$

ist ein topologischer Raum und die Projektion

$p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X$

ist ein lokaler Homöomorphismus.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen

${}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$

eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also ${}(x,r)\in (U,s)\cap (V,t)$ mit ${}r\in {\mathcal {G}}_{x}$ und ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ bzw. ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$. Hierbei gilt ${}x\in U\cap V$. Da ${}s$ und ${}t$ beide auf ${}r$ einschränken, gibt es eine offene Umgebung ${}x\in W\subseteq U\cap V$, auf der ${}s$ und ${}t$ gleich werden. Deshalb gilt

${}(x,r)\in (W,s)\subseteq (U,s)\cap (V,t)\,.$

Die Projektion ${}p$ ist stetig, da das Urbild von ${}U\subseteq X$ offen gleich ${}\bigcup _{s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}(U,s)$ ist. Sei ${}(x,r)\in {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ und somit gilt ${}(x,r)\in (U,s)$. Wir behaupten, dass ${}p\colon (U,s)\rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus ${}(x,s_{x})\mapsto x$. Wenn ${}(x,r)$ und ${}(x',r')$ zu ${}(U,s)$ gehören und beide auf den gleichen Punkt unter ${}p$ abbilden, so ist zunächst ${}x=x'$ und dann auch ${}r=r'$, da ja beide Keime die Einschränkung von ${}s$ sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von ${}(U,s)$ die Form ${}(U',s{|}_{U'})$ mit offenen Teilmengen ${}U'\subseteq U$ besitzen und deren Bild gleich ${}U'$ ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$.

Dann stimmt zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge der stetigen Schnitte von ${}U$ in ${}p^{-1}(U)$ in natürlicher Weise mit ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ überein.

Beweis

Wir betrachten die natürliche Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\left\{h:U\rightarrow p^{-1}(U){\text{ stetig}}\mid p\circ h=\operatorname {Id} _{U}\right\}},$

die einem ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Abbildung

$h\colon U\longrightarrow p^{-1}(U),\,x\longmapsto (x,s_{x}),$

zuordnet. Die Abbildung ${}h$ ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu ${}(U,s)$ vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges ${}h$ gegeben. Es wird also jedem Punkt ${}x\in U$ ein ${}h(x)\in {\mathcal {G}}_{x}$ in stetiger Weise zugeordnet. Sei ${}x\in U$ und es sei ${}x\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der ${}h(x)$ durch den Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$ repräsentiert werde. Dann ist ${}(V,s)$ eine offene Umgebung von ${}(x,h(x))$ in ${}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$. Wegen der Stetigkeit von ${}h$ ist

${}U_{x}:=h^{-1}(V,s)={\left\{y\in U\mid h(y)\in V,\,s_{y}=h(y)\right\}}\,$

offen in ${}X$. D.h. dass auf der offenen Umgebung ${}U_{x}$ von ${}x$ die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über ${}U_{x}$ gegeben ist. Die Abbildung ${}h$ wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch ${}h$ gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über ${}U$ her.

$\Box$

Wenn man in der vorstehenden Situation mit einer Prägarbe startet, so erhält man über die stetigen Schnitte im Ausbreitungsraum eine zugehörige Garbe, die sogenannte Vergarbung der Prägarbe.