Topologischer Raum/Quasikompakt/Irreduzibler topologischer Filter/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Es sei quasikompakt und ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter

D.h., dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung mit gibt. Es ist dann

eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie , , die ebenfalls überdeckt. Also ist

Also ist für ein wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch.

Es sei umgekehrt nicht quasikompakt. Der Filter aus Beispiel ist konsistent und liegt nach Fakt in einem Ultrafilter . Angenommen, es gelte

für einen Punkt . Wir behaupten, dass dann doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich eine offene Überdeckung ist, so ist für ein . Wegen ist dann