Topologischer Raum/Quasikompakt/Irreduzibler topologischer Filter/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}X$ quasikompakt und ${}F$ ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter

${}U(x)\not \subseteq F\,.$

D.h., dass es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}$ mit ${}U_{x}\notin F$ gibt. Es ist dann

${}X=\bigcup _{x\in X}U_{x}\,$

eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie ${}U_{i}:=U_{x_{i}}$, ${}i\in I$, die ebenfalls ${}X$ überdeckt. Also ist

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\in F\,.$

Also ist ${}U_{i}\in F$ für ein ${}i$ wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch.

Es sei umgekehrt ${}X$ nicht quasikompakt. Der Filter aus Beispiel ist konsistent und liegt nach Fakt in einem Ultrafilter ${}F$. Angenommen, es gelte

${}U(x)\subseteq F\,$

für einen Punkt ${}x\in X$. Wir behaupten, dass dann ${}X$ doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ist, so ist ${}x\in U_{i}$ für ein ${}i$. Wegen ${}U_{i}\in F$ ist dann

Zur bewiesenen Aussage