Topologischer Vektorraum/Weg
Einleitung
[Bearbeiten]Aus der Funktionentheorie sind Wege stetige Abbildungen von einem Intervall in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im . In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die topologische Vektorräume sind.
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba8e67ece48ed58462781818669d29170ae4809)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
Definition - Weg im topologischen Vektorraum
[Bearbeiten]Sei ein topologischer Vektorraum über dem Körper . Ein Weg in ein Vektorraum ist eine stetige Abbildung bzgl. der Vektorraumtopologie .
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2ecac29ca6d34257bb6925aec54bab7482b5a8)
Beispiel - Weg in Funktionenräumen
[Bearbeiten]Einen Weg in einem Funktionenraum kann man z.B. als Konvexkombination von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg anders bezeichnet werden, da hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird.
![{\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79afbba71835b38624fb3fb96ae4583ac6cc03e)
![{\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85566f90a71bfd4c057d1e5da3441ddcb0e3538)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Definition der Funktionen
[Bearbeiten]Z.B. seien , so entsteht mit und eine neue Funktion mit:
![{\displaystyle f,g\in V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57cc64583be364070fb2750e62a27b66dc8e065)
![{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141800fbc4b22966347098f5c313a6d159096bbe)
Der Index in wird verwendet, da in Abhängigkeit von eine andere Funktion definiert wird.
Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen
[Bearbeiten]Sei und als erste Funktion wird ein Polynom definiert.
![{\displaystyle [a,b]=[4,7]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7426d28276f20a0b210d2d95d9b71692a19f8963)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion gewählt.
![{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1d5103d0e36767a27715bcfc57137119294aad)
Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination
Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen
[Bearbeiten]Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen[1].
Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File
Bemerkung - Deformation
[Bearbeiten]Wenn die erste Funktion die Ausgangsform beschreibt und die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben.
Siehe auch
[Bearbeiten]- ↑ Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )