Topologischer Vektorraum/Weg

Einleitung

Aus der Funktionentheorie sind Wege $γ : [a, b] \to ℂ$ stetige Abbildungen von einem Intervall $[a, b] \subset ℝ$ in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im $ℝ^{n}$ . In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die topologische Vektorräume sind.

Definition - Weg im topologischen Vektorraum

Sei $(V, 𝒯)$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $𝕂$ . Ein Weg $γ : [a, b] \to V$ in ein Vektorraum ist eine stetige Abbildung bzgl. der Vektorraumtopologie $𝒯$ .

Definition - Spur eines Weges

Sei $(V, 𝒯)$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $𝕂$ . Die Spur eines Weges $γ : [a, b] \to V$ in einem Vektorraum ist als Bildmenge von $γ$ in $V$ wie folgt definiert:

S p u r (γ) := {γ (t) \in V : t \in [a, b]}

Definition - Graph eines Weges

Sei $(V, 𝒯)$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $𝕂$ . Der Graph eines Weges $γ : [a, b] \to V$ in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von $[a, b] \times V$ wie folgt definiert:

G r a p h (γ) := {(t, γ (t)) \in [a, b] \times V : t \in [a, b]}

Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges

Sei $γ : [a, b] \to V$ ein Weg in einem topologischen Vektorraum $G \subseteq ℂ$ . Der Anfangspunkt/Startpunkt des Weges ist $v_{_{A}} := γ (a) \in G$ und der Endpunktist $v_{_{E}} := γ (b) \in G$ . Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet $𝔄 (γ) := v_{_{A}}$ und $𝔈 (γ) := v_{_{E}}$ .

Beispiel - Weg in Funktionenräumen

Einen Weg $γ : [α, β] \to V$ in einem Funktionenraum kann man z.B. als Konvexkombination von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg $[α, β] \subset ℝ$ anders bezeichnet werden, da $[a, b]$ hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird.

Definition der Funktionen

Z.B. seien $f, g \in V := 𝒞 ([a, b], ℝ)$ , so entsteht mit $λ_{1}, λ_{2} \in [0, 1]$ und $λ_{1} + λ_{2} = 1$ eine neue Funktion $h_{t} \in V$ mit:

h_{t} := (1 - t) \cdot f + t \cdot g

Der Index $t$ in $h_{t}$ wird verwendet, da in Abhängigkeit von $t$ eine andere Funktion $h_{t}$ definiert wird.

Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen

Sei $[a, b] = [4, 7]$ und als erste Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ wird ein Polynom definiert.

f (x) := \frac{3}{10} \cdot x^{2} - 2

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion $g : [a, b] \to ℝ$ gewählt.

g (x) := 2 \cdot c o s (x) + 1

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination $K (t) := (1 - t) \cdot f + t \cdot g$

Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen^[1].

Konvexkombination von zwei Funktionen in Geogebra

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File

Bemerkung - Deformation

Wenn die erste Funktion $f$ die Ausgangsform beschreibt und $g$ die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben.

Quellennachweise

↑ Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

Siehe auch

[1] Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

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