Totale Differenzierbarkeit/R/xf(y)/f stetig/Aufgabe/Kommentar

Hier sind zwei Richtungen zu zeigen. Falls ${}\varphi$ in ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, existieren insbesondere die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig. Die partielle Ableitung bezüglich ${}x$ ist genau ${}f(y)$, was die Stetigkeit von ${}f(y)$ in ${}0$ zeigt.

Der schwierigere Fall ist die Umkehrung. Wir nehmen also an, dass ${}f$ in ${}0$ stetig ist, und müssen die totale Differenzierbarkeit von ${}\varphi$ in ${}(0,0)$ zeigen. Die partielle Ableitung nach ${}x$ in ${}(0,0)$ ist die Ableitung der Koordinatenfunktion ${}x\mapsto xf(0)$ und existiert somit. Für die partielle Ableitung nach ${}y$ müssen wir aufpassen, dass wir nicht ${}f'(y)$ verwenden, weil ${}f$ nicht differenzierbar sein muss. Tatsächlich ist diese partielle Ableitung aber die Ableitung der Koordinatenfunktion ${}y\mapsto 0f(y)=0$ und ist somit konstant Null.

An dieser Stelle müssen wir jedoch sehr vorsichtig sein, denn die Existenz der partiellen Ableitungen allein genügt im Allgemeinen nicht, um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Insbesondere können wir hier nicht Fakt verwenden. Weshalb kann der Satz hier nicht verwendet werden? Zwar haben wir gezeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${}P$ existieren und dort stetig sind. Jedoch fordert der Satz, dass die partiellen Ableitungen auch außerhalb von ${}P$, nämlich in einer ganzen Umgebung von ${}P$ existieren müssen. Dies können wir hier aber nicht zeigen, weil in einem Punkt ${}(x_{0},y_{0})$ mit ${}y_{0}\neq 0$ die partielle Ableitung nach ${}y$ nicht existiert, weil dafür ${}f'(y)$ existieren müsste.

Um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen, kann direkt mit der Definition von total differenzierbar gearbeitet werden. Da wir bereits die partiellen Ableitungen in ${}P$ bestimmt haben, wissen wir bereits, wie das totale Differential aussieht (es wird durch die Jacobi-Matrix beschrieben). Es muss also noch die Funktion ${}r$ aus der Definition angegeben werden und begründet werden, dass diese stetig ist und in Null verschwindet.

Zur kommentierten Aufgabe