Transformationsformel

Einleitung

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Menge und $\Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion $f$ auf $\Phi (\Omega )$ genau dann integrierbar, wenn die Funktion $x\mapsto f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|$ auf $\Omega$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

\int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.

Dabei ist $D\Phi (x)$ die Jacobi-Matrix und $\det(D\Phi (x))$ die Funktionaldeterminante von $\Phi$ .

Bemerkung - Diffeomorphismus

Für den Diffeomorphismus $\Phi$ müssen die folgende Eigenschaften gelten:

$\Phi$ ist bijektiv von $\Omega$ auf $\Phi (\Omega )$ ,
$\Phi$ ist überall stetig differenzierbar,
die Umkehrabbildung $\Phi ^{-1}$ ist überall stetig differenzierbar.

Lerneinheiten

Koordinatentransformation $\mathbb {R} ^{2}$ - kartesisch $\to$ polar
Integration über Polarkoordinaten im $\mathbb {R} ^{2}$
Beispiel - Gaußsche Glockenkurve
Anwendung der Transformationsformel für die Cauchy-Verteilung
Volumenberechnung als Spezialfälle der Transformationsformel.
komplexe Wegintegrale

Cauchy-Verteilung - Dartscheibe

Als Beispiel für die Transformationsformel wird die aggreggierte Cauchy-Verteilung von $n$ Einstichstellen $(x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}$ verwendet, um daraus eine Dichtefunktion und bei Normalisierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu erzeugen.

Literatur

Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211

Siehe auch

Maxima CAS/Integration

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