Transformationsformel/Volumenberechnung

Einleitung

Als Spezialfälle der Transformationsformal kann man von messbaren Mengen $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ das Volumen berechnen.

Volumenberechnung

• Wählt man für $f$ die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. $n$-dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge $\Phi (\Omega )$ dar:

  $\operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\int _{\Omega }\left|\det(D\Phi (x))\right|\,\mathrm {d} x\;.$

• Ist außerdem die Abbildung $\Phi$ linear oder affin, $\Phi (x)=Ax+b$, wobei $A$ eine $n\times n$-Matrix ist und $b\in \mathbb {R} ^{n}$, so ist $D\Phi (x)=A$. Somit gilt

  $\operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {vol} (\Omega )\;.$

Siehe auch

• Transformationsformel