Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion . Nach Voraussetzung existiert

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist

Durch Addition einer Konstanten können wir annehmen.

Zu jedem ist

und wegen der Monotonie ist

Für konvergiert das rechte Integral gegen und das linke Integral gegen . Daher gibt es zu jedem ein mit

für alle .

Die Umkehrfunktion besitzt die Stammfunktion

Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für einen Limes besitzt. Für gilt und somit ist wegen der Stetigkeit

Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für besitzt. Dazu sei und sei wie oben gewählt. Da fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein mit . Daher gelten für alle (mit ) die Abschätzungen

Daher ist

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist

Zur gelösten Aufgabe