Es sei
eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion
. Nach Voraussetzung existiert
-
Der Wert des uneigentlichen Integrals ist
-

Durch Addition einer Konstanten können wir
annehmen.
Zu jedem
ist
-

und wegen der Monotonie ist
-

Für
konvergiert das rechte Integral gegen
und das linke Integral gegen
. Daher gibt es zu jedem
ein
mit
-

für alle
.
Die Umkehrfunktion
besitzt die Stammfunktion
-
Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für
einen Limes besitzt. Für
gilt
und somit ist wegen der Stetigkeit
-
Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für
besitzt. Dazu sei
und sei
wie oben gewählt. Da
fallend
(und bijektiv)
ist, gibt es ein
mit
. Daher gelten für alle
(mit
)
die Abschätzungen
-

Daher ist
-

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist
