Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion ${}f$. Nach Voraussetzung existiert

$F(0):=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,F(x).$

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist

${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)-F(0)\,.$

Durch Addition einer Konstanten können wir ${}F(0)=0$ annehmen.

Zu jedem ${}x\in {]0,1]}$ ist

${}\int _{0}^{x}f(t)\,dt+\int _{x}^{1}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)\,$

und wegen der Monotonie ist

${}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\geq xf(x)\,.$

Für ${}x\mapsto 0$ konvergiert das rechte Integral gegen ${}F(1)$ und das linke Integral gegen ${}0$. Daher gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}$ mit

${}xf(x)\leq \epsilon \,$

für alle ${}x\leq x_{0}$.

Die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ besitzt die Stammfunktion

$G(y)=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y)).$

Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für ${}y\mapsto \infty$ einen Limes besitzt. Für ${}y\mapsto \infty$ gilt ${}f^{-1}(y)\mapsto 0$ und somit ist wegen der Stetigkeit

$\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,F(f^{-1}(y))=0.$

Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für ${}y\mapsto \infty$ besitzt. Dazu sei ${}\epsilon >0$ und sei ${}x_{0}$ wie oben gewählt. Da ${}f^{-1}$ fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein ${}y_{0}$ mit ${}f^{-1}(y_{0})=x_{0}$. Daher gelten für alle ${}y\geq y_{0}$ (mit ${}y=f(x)$) die Abschätzungen

${}yf^{-1}(y)=f(x)f^{-1}(f(x))=f(x)x\leq \epsilon \,.$

Daher ist

${}\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,yf^{-1}(y)=0\,$

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy&=\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,G(y)-G(0)\\&=\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,(yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y)))-(-F(1))\\&=-F(0)+F(1)\\&=\int _{0}^{1}f(t)\,dt.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe