Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion ${}f$ . Nach Voraussetzung existiert

F(0):=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,F(x).

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist

{}\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)-F(0)\,.

Durch Addition einer Konstanten können wir ${}F(0)=0$ annehmen.

Zu jedem ${}x\in {]0,1]}$ ist

{}\int _{0}^{x}f(t)\,dt+\int _{x}^{1}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}f(t)\,dt=F(1)\,

und wegen der Monotonie ist

{}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\geq xf(x)\,.

Für ${}x\mapsto 0$ konvergiert das rechte Integral gegen ${}F(1)$ und das linke Integral gegen ${}0$ . Daher gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}$ mit

{}xf(x)\leq \epsilon \,

für alle ${}x\leq x_{0}$ .

Die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ besitzt die Stammfunktion

G(y)=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y)).

Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für ${}y\mapsto \infty$ einen Limes besitzt. Für ${}y\mapsto \infty$ gilt ${}f^{-1}(y)\mapsto 0$ und somit ist wegen der Stetigkeit

\operatorname {lim} _{y\rightarrow \infty }\,F(f^{-1}(y))=0.

Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für ${}y\mapsto \infty$ besitzt. Dazu sei ${}\epsilon >0$ und sei ${}x_{0}$ wie oben gewählt. Da ${}f^{-1}$ fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein ${}y_{0}$ mit ${}f^{-1}(y_{0})=x_{0}$ . Daher gelten für alle ${}y\geq y_{0}$ (mit ${}y=f(x)$ ) die Abschätzungen