Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

Einleitung

Ein topologische Algebra $A$ ist zunächst einmal eine topologischer Vektorraum, der zusätzliche innere Verknüpfung $\cdot :A\times A\to A$ als Multiplikation auf $A$ , auf der alle Verknüfungen stetig sind. Daher wird zunächst der Begriff topologischer Vektorraum definiert.

Definition: Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ über $\mathbb {K}$ ist ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ , der eine Topologie ${\mathcal {T}}$ besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

{\begin{array}{rcl}\cdot :\mathbb {K} \times V&\longrightarrow &V\quad (\lambda ,v)\longmapsto \lambda \cdot v\\+:V\times V&\longrightarrow &V\quad (v,w)\longmapsto v+w\end{array}}

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Klassen von topologischen Vektorräumen

${\mathcal {N}}$ normierter Vektorraum
${\mathcal {P}}$ lokal beschränkter Vektorraum
${\mathcal {LC}}$ lokalkonvexer Vektorraum
${\mathcal {PC}}$ pseudokonvexer Vektorraum
${\mathcal {MLC}}$ multiplikativer lokalkonvexer Vektorraum
${\mathcal {MPC}}$ multiplikativer pseudokonvexer Vektorraum

Wege in topologischen Vektorräumen

Stetige Abbildungen $\gamma :[a,b]\to V$ von einem Intervall in den Vektorraum $V$ nennt man Wege, über die man auch in allgemeiner Form Wegintegrale berechnen kann (siehe Wege in topologischen Vektorräumen).

Definition: Umgebungen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ als System von offenen Mengen ${\mathcal {T}}\subset \wp (X)$ und $a\in X$ , dann bezeichnet

${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{U\subseteq X\,:\,\exists _{U_{o}\in {\mathcal {T}}}:\,a\in U_{o}\subseteq U\right\}$ die Menge aller Umgebungen vom Punkt $a$ ,
${\stackrel {o}{\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):={\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\cap {\mathcal {T}}$ die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt $a$ ,
${\overline {\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{{\overline {U}}\,:\,U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\right\}$ die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt $a$

Bemerkung: Indizierung mit der Topologie

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index ${\mathcal {T}}$ als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung

Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur $\varepsilon$ -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ eine Indexschranke $i_{U}\in I$ eines Netzes $(x_{i})_{i\in I}$ finden, ab der alle $x_{i}\in U$ liegen mit $i\geq i_{U}$ . Da die $\varepsilon$ -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle $\varepsilon >0$ zu zeigen.

Konvergenz in topologischen Räumen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, $a\in X$ , $I$ eine Indexmenge (partielle Ordnung) und $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ ein Netz. Die Konvergenz von $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ gegen $a\in X$ wird dann wie folgt definiert:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {{\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\in I}}}\,x_{i}=a}&:\Longleftrightarrow &{\underset {U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {i_{U}\in I}{\exists }}\,\,\,\,{\underset {i\succcurlyeq i_{U}}{\forall }}\,\,\,\,x_{i}\in U\\\end{array}}

.

(dabei ist " $\preccurlyeq$ " für $I$ die partiellle Ordnung auf der Indexmenge $I$ ).

Konvergenz über Gaugefunktionalsysteme

Sei $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Raum mit, $v_{o}\in V$ , $I$ eine Indexmenge (partielle Ordnung) und $(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}$ ein Netz. Die Konvergenz von $(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}$ gegen $v_{o}\in V$ wird dann wie folgt definiert:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {{\stackrel {,\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}{\lim _{i\in I}}}\,v_{i}=v_{o}}&:\Longleftrightarrow &{\underset {\alpha \in {\mathcal {A}}}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {i_{(\alpha ,\varepsilon )}\in I}{\exists }}\,\,\,\,{\underset {i\succcurlyeq i_{(\alpha ,\varepsilon )}}{\forall }}\,\,\,\,\|x_{i}-v_{o}\|<\varepsilon \\\end{array}}

.

(dabei ist " $\preccurlyeq$ " für $I$ die partiellle Ordnung auf der Indexmenge $I$ ).

Definiton: Umgebungsbasis

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, $a\in X$ und ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ die Menge aller Umgebungen von $a\in X$ . ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ heißt Umgebungsbasis von ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ , wenn es zu jedem : ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)\subseteq {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\wedge \forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}\exists _{B\in {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}:\,B\subseteq U$

Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen

Sei $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Raum, dann bilden die $\varepsilon$ -Kugeln

B_{\varepsilon }^{\|\cdot \|}(a):=\left\{v\in V\,;\,\|v-a\|<\varepsilon \right\}

eine Umgebungsbasis von ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ der Menge aller Umgebungen von ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ von $a\in V$ .

Aufgabe 1

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie ${\mathcal {T}}:=\{\emptyset ,X\}$ .

Bestimmen Sie ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ für ein beliebiges $a\in X$ .
Zeigen Sie, dass jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $(X,{\mathcal {T}})$ gegen einen beliebigen Grenzwert $a\in X$ konvergiert.

Aufgabe 2

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

d(x,y):=\left\{{\begin{array}{lcl}0&{\mbox{ für }}&x=y\\1&{\mbox{ für }}&x\not =y\\\end{array}}\right.

.

Bestimmen Sie ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ für ein beliebiges $a\in X$ .
Aus wie vielen Mengen besteht ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ minimal für ein beliebiges $a\in X$ ?
Geben Sie alle Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $(X,d)$ formal an, die gegen einen Grenzwert $a\in X$ konvergieren!

Definition: Offene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ ist das System der offenen Mengen, d.h.:

U\subseteq X{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U\in {\mathcal {T}}

Aufgabe

Sei $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag $|\cdot |$ , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

U\in {\mathcal {T}}{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U=\emptyset {\mbox{ oder }}U\subseteq \mathbb {R} \,{\mbox{ mit }}\,U^{c}{\mbox{ abzählbar}}

Zeigen Sie, dass $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ die Eigenschaften eines topologischen Raumes (T1), (T2), (T3) erfüllt.
Zeigen Sie, dass die Folge $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in dem topologischen Raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ nicht gegen $0$ konvergiert.

Dabei ist $U^{c}:=\mathbb {R} \setminus U$ das Komplement von $U$ in $\mathbb {R}$ .

Bemerkung: offen - abgeschlossen

Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Definition: Abgeschlossene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ ist das System der offenen Mengen.

M\subseteq X{\mbox{ abgeschlossen }}:\Longleftrightarrow \exists _{U\in {\mathcal {T}}}:\,M=U^{c}:=X\setminus U

Definition: Offener Kern

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $M\subset V$ , dann ist der offene Kern ${\stackrel {\circ }{M}}$ von $M$ die Vereinigung aller offenen Teilmengen von $M$ .

{\stackrel {\circ }{M}}:=\bigcup _{U\in {\mathcal {T}},U\subseteq M}U

Definition: Abgeschlossene Hülle

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle ${\overline {M}}$ von $M$ ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von $W=U^{c}$ , die $M$ enthalten und $U$ offen ist.

{\overline {M}}:=\bigcap _{U\in {\mathcal {T}},U^{c}:=X\setminus U\supseteq M}U^{c}

Definition: Rand einer Menge

Der topologische Rand $\partial M$ von $M$ ist wie folgt definiert:

\partial M:={\overline {M}}\backslash {\stackrel {\circ }{M}}

Bemerkung: Folgen und Netze

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Netze und Konvergenz

Sei $T$ ein topologischer Raum und $I$ eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet $T^{I}$ die Menge aller mit $I$ indizierten Familien in $T$ :

T^{I}:=\{(t_{i})_{i\in I}:t_{i}\in T{\mbox{ für alle }}i\in I\}

Siehe dazu auch Netze, Konvergenz und Konvergenz gegen Unendlich.

Definition: endliche Folgen

Sei $V$ ein Vektorraum, dann bezeichnet $c_{oo}(V)$ die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in $V$ :

c_{oo}(V):=\left\{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in V^{\mathbb {N} _{0}}:\exists _{\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}\forall _{\displaystyle n\geq N}:\,v_{n}=0_{_{V}}\right\}.

Dabei ist $0_{_{V}}\in V$ der Nullvektor in $V$ . Der Nullvektor in $c_{oo}(V)$ ist $0_{oo}:=(0_{_{V}})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in V^{\mathbb {N} _{0}}$ .

Definition: Algebra

Eine Algebra $A$ über dem Körper $\mathbb {K}$ ist ein Vektorraum über $\mathbb {K}$ , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

\cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w

definiert ist, bei der für alle $x,y,z\in A$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ folgende Eigenschaften erfüllt sind:

{\begin{array}{rcl}x\cdot (y\cdot z)&=&(x\cdot y)\cdot z\\x\cdot (y+z)&=&x\cdot y+x\cdot z\\(x+y)\cdot z&=&x\cdot z+y\cdot z\\\lambda \cdot (x\cdot y)&=&(\lambda \cdot x)\cdot y=x\cdot (\lambda \cdot y)\end{array}}

Definition: Topologische Algebra

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ über dem Körper $\mathbb {K}$ ist ein topologischer Vektorraum $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ über $\mathbb {K}$ , bei dem auch die Multiplikation

\cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation

Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V\cdot V=V^{2}\subset U

Multiplikative Topologie - Stetigkeit

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V^{2}\subset V\subset U

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale

Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen erzeugt werden kann. Bei multiplikativen Topologien kann man die Topologie submultiplikativen Gaugefunktionalen erzeugen, sodass für alle Gaugefunktionale $\|\cdot \|_{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ und alle $x,y\in A$ gilt:

\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }

Unitale Algebra

Für eine unitale Algebra $A$ gibt es ein neutrales Element $e\in A$ der Multiplikation

\cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w

Für unitale topologische Algebren gibt eine weitere notwendige Bedingung an die Topologie, damit zumindest der Nullvektor $0_{_{A}}\in A$ und das neutrale Element der Multiplikation getrennt werden können. Dies wird durch die folgenden Definition präzisiert.

Definition - Unitale Algebra

Die Algebra $A$ heißt unital, falls diese ein neutrales Element $e\in A$ der Multiplikation besitzt.

Definition - Unitale topologische Algebra

Die topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ heißt unital, falls diese ein neutrales Element $e\in A$ der Multiplikation besitzt und eine Nullumgebung $U\in {\mathcal {T}}$ mit $e\notin U$ existiert.

Bemerkung - Topologische Trennung von Nullvektor und Einselement

Die Bedingung mit der Nullumgebung liefert, dass man den Nullvektor $0_{_{A}}$ als neutrales Element der Addition und das Einselement $e$ als neutrales Element der Multiplikation topologisch trennen kann. Die topologische Algebra insgesamt muss dabei nicht notwendig eine Hausdorff-Raum sein.

Definition - reguläre / singuläre Elemente

Sei $A$ eine unitale Algebra mit dem neutralen Element $e\in A$ der Multiplikation. Ein Element $z\in A$ heißt invertierbar/regulär, wenn es ein Element ${\widehat {z\,}}\in A$ gibt mit:

e=z\cdot {\widehat {z\,}}={\widehat {z\,}}\cdot z

Bei Existenz des multiplikativen Inversern wird diese i.d.R. mit $z^{-1}$ . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit ${\mathcal {G}}(A)$ bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.

Definition - Potenzen von Elemente

Sei $A$ eine unitale Algebra mit dem neutralen Element $e\in A$ der Multiplikation. Potenzen werden auf der Algebra $A$ induktiv definiert mit

{\underset {x\in A}{\forall }}\,\,\,\,\,x^{0}:=e\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,x^{n+1}:=x^{n}\cdot x

Definition - Polynome in A

Sei $A$ eine unitale Algebra mit dem neutralen Element $e\in A$ . Ein Polynom $p$ auf $A$ mit Koeffizienten in $A$ ist für $p_{0},\ldots ,p_{n}\in A$ eine Abbildung:

{\begin{array}{rrcl}p:&A&\rightarrow &A\\&x&\mapsto &p(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot x^{k}\end{array}}

Die Menge aller Polynome mit Argument $x\in A$ und Koeffizienten $p_{k}$ in $A$ wird mit $A[x]$ bezeichnet.

Definition - Unitale topologische Algebra

Auf topologischen Algebren $(A,{\mathcal {T}})$ mit einem Einselement $e\in A$ als neutrales Element der Multiplikation heißt unitale topologische Algebra, wenn es eine Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{_{A}})$ , mit $e\notin U$ .

Bemerkung - Trennung von Nullvektor und Einselement

In topologischen Algebren $(A,{\mathcal {T}})$ die zugleich auch ein Hausdorff-Raum ist, gilt die gefordert Trennungseigenschaft ( $T_{1}$ ) in natürlicher Weise. Für eine topologische Algebra verlangt man aber nicht notwendigerweise bestimmt Trennungseigenschaften für den gesamten Raum, sondern nur für das Einselement $e$ und den Nullvektor $0_{_{A}}\in A$ .

Unitale topologische Algebra - Gaugefunktionalsystem

Gibt es auf topologischen Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ein Gaugefunktionalsystem bzw. $p$ -Gaugefunktionalsystem

\left\|\cdot \right\|_{I}:=\left\{\left\|\cdot \right\|_{\alpha }:\alpha \in I\right\}.

den Nullvektor $0_{_{A}}\in A$ und das Einselement $e\in A$ trennen können, d.h. man muss einen $\alpha _{e}\in I$ finden, für $\|e\|_{\alpha _{e}}>0$ .

LC-Algebra

Eine topologische Algebra heißt lokalkonvex bzw. ${\mathcal {LC}}$ , wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch ein Halbnormensystem erzeugt wird.

PC-Algebra

Eine topologische Algebra heißt pseudokonvex bzw. ${\mathcal {PC}}$ , wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch ein submultiplikatives p-Halbnormensystem erzeugt wird.

MLC-Algebra

Eine topologische Algebra heißt multiplikativ lokalkonvex bzw. ${\mathcal {MLC}}$ , wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch ein submultiplikatives Halbnormensystem erzeugt wird.

MPC-Algebra

Eine topologische Algebra heißt multiplikativ pseudokonvex bzw. ${\mathcal {MPC}}$ , wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch ein submultiplikatives p-Halbnormensystem erzeugt wird.

Aufgabe: Matrixalgebren

Betrachten Sie die Menge $V$ der quadratischen $2\times 2$ -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen ( $V$ ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass $V$ mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Faltung auf dem Funktionenraum

Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.

Definition: Mengen und Verknüpfungen

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra über dem Körper $\mathbb {K}$ , $\Lambda \subset \mathbb {K}$ und $M_{1},M_{2}$ Teilmengen von $A$ , dann definiert man

{\begin{array}{rcl}M_{1}\times M_{2}&:=&\{(m_{1},m_{2})\in A\times A\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}+M_{2}&:=&\{m_{1}+m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}\cdot M_{2}&:=&\{m_{1}\cdot m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\\Lambda \cdot M_{1}&.=&\{\lambda \cdot m_{1}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge \lambda \in \Lambda \}.\\\end{array}}

Aufgaben

Zeichnen Sie die folgenden Menge $M_{k}$ der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem $\mathbb {R} ^{2}$ mit $M_{1}:=\left\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}$ und $M_{2}:=\left\{{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$ und den folgenden Intervallen $[a,b]\in \mathbb {R}$ :

$[1,4]\times [2,3]$
$M_{1}+M_{2}$
$[1,2]\cdot M_{1}$

Potenzreihen

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit Topologie ${\mathcal {T}}$ mit einem neutralen Element der Multiplikation $e\in A$ .

Potenzen

Da eine innere multiplikative Verknüpfung $\cdot :V\times V\to V$ existiert, kann man Potenzen induktiv definieren:

$z^{0}:=e$ für alle $z\in A$
$z^{n+1}:=z^{n}\cdot z$ für alle $z\in A$ .

Insbesondere gilt dann $z^{1}=z$ für alle $z\in A$ .

Polynome in A

Zusammen mit der Addition als innere Verknüpfung in $A$ kann man Polynome $p$ mit Koeffizienten in $A$ definieren:

p^{(n)}(z):=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}

Das Polynom als Abbildung $p^{(n)}:A\to A$ ist eine stetige Abbildung in der Algebra $A$ , da die algebraischen Verknüpfungen auf einer topologischen Algebra selbst stetig sind.

Polynomalgebra mit Koeffizienten in A

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit Topologie ${\mathcal {T}}$ mit einem neutralen Element der Multiplikation $e\in A$ , dann wird die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $A$ mit $A[z]$ bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet $A[z]$ eine Polynomalgebra.

Potenzreihe - Folge von Partialsummen 1

Betrachtet man die Polynome

p^{(n)}(z):=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}

als Partialsumme einer Potenzreihe, so kann man untersuchen, ob für ein festes Element $z\in A$ die Folge $(p^{(n)}(z))_{n\in \mathbb {N} }\in A^{\mathbb {N} }$ in der auf $A$ gegebenen Topologie ${\mathcal {T}}$ konvergiert.

Potenzreihe - Folge von Partialsummen 2

Liegt Konvergenz für $z\in A$ vor, so kann man den Wert der Potenzreihe wie folgt definieren:

p(z):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot (z-z_{o})^{k}} _{=p^{(n)}(z)}

Potenzreihenalgebra mit Koeffizienten in A

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit Topologie ${\mathcal {T}}$ mit einem neutralen Element der Multiplikation $e\in A$ , dann wird die Menge der Potenzreihen mit ${\overline {A[z]}}$ bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet ${\overline {A[z]}}$ eine Potenzreihenalgebra.

Siehe auch

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