Unterschiede - Konvergenzbegriffe

Einleitung

Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab (Konvergesiehe Übersichtund stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr.

Konvergenzeigenschaften

Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von stärksten bis zu schwächsten Konvergenz:

(K1) Gleichmäßige Konvergenz
(K2) Punktweise Konvergenz
(K3) $P$ -fast sichere Konvergenz
(K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit
(K5) Konvergenz nach Verteilung

Bezeichnung der Funktionenfolge

Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion $f_{0}$ konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit $X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als Folge von Zufallsgrößen angegeben.

(K1) - Gleichmäßige Konvergenz

Bei der gleichmäßigen Konvergenz betrachtet man um eine Grenzfunktion einen $\varepsilon$ -Streifen, ab dem ab einer Indexschranke $n_{\varepsilon }$ der gesamte Graph der Funktionen $f_{n}$ in dem Streifen liegen müssen.

Definition - gleichmäßige Konvergenz

Eine Folge von Funktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $f_{o}$ auf $\mathbb {D}$ Definitionsbereich $\$ , wenn gilt:

{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }{\exists }}\,\,\,\,{\underset {n\geq n_{\varepsilon }}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {x\in \mathbb {D} }{\forall }}\,\,\,\,|f_{n}(x)-f_{o}(x)|<\varepsilon

Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz

Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz

Für jedes $\varepsilon >0$ muss man also ein $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ finden, so dass für alle $n\geq n_{\varepsilon }$ und alle $x\in \mathbb {D}$ die Ungleichung $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ gilt.

Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz

Man betrachtet die folgende Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {D} =\mathbb {R}$ mit:

{\begin{array}{rrcl}f_{n}:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f_{n}(x)=1+{\frac {\sin(x)}{n}}\end{array}}

Die Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $f_{o}$ , wobei $f_{o}(x)=1$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen $\varepsilon >0$ das ${\textstyle n_{\varepsilon }>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ mit $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ und man erhält:

|f_{n}(x)-f_{o}(x)|=\left|{\frac {\sin(x)}{n}}\right|\leq {\frac {|1|}{\left|n\right|}}\leq {\frac {1}{n_{\varepsilon }}}\leq {\frac {1}{\frac {1}{\varepsilon }}}=\varepsilon

Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion

In der Animation wurde eine $\varepsilon$ -Umgebung der Funktion $f_{0}$ mit $\varepsilon =0.6$ in rot markiert. Ab der Indexschranke $n_{\varepsilon }=4$ liegen die blauen Funktionen $f_{n}$ komplett im dem $\varepsilon$ -Streifen um die Funktion $f_{0}$

Nicht konstante Grenzfunktion

Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion $f_{0}$ , die nicht konstant ist. Die $\varepsilon$ -Umgebung ist mit $\varepsilon =0.6$ gleich gewählt.

K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum

Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch als topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ mit $\|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in \mathbb {D} }|f(x)|$ auffassen:

{\stackrel {\|\cdot \|_{\infty }}{\lim _{n\to \infty }}}f_{n}=f_{o}\,\,\,\,:\Longleftrightarrow \,\,\,\,{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }{\exists }}\,\,\,\,{\underset {m\geq n_{\varepsilon }}{\forall }}\,\,\,\,\|f_{n}-f_{o}\|_{\infty }<\varepsilon

Die Ungleichung $\|f_{n}-f_{o}\|_{\mathbb {D} }<\varepsilon$ bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen $\sup _{x\in \mathbb {D} }|f_{n}(x)-f_{o}(x)|$ zwischen Grenzfunktion $f_{o}$ und dem Folgenglied $f_{n}$ durch $\varepsilon >0$ ab einer Indexschranke $n_{\varepsilon }$ beschränkt ist.

(K2) - Punktweise Konvergenz

Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere Konvergenzeigenschaft im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz.

Definition - punktweise Konvergenz

Eine Folge von Funktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f_{o}$ auf dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ , wenn gilt:

{\underset {x\in \mathbb {D} }{\forall }}\,\,\,\,{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }{\exists }}\,\,\,\,{\underset {n\geq n_{\varepsilon }}{\forall }}\,\,\,\,|f_{n}(x)-f_{o}(x)|<\varepsilon

Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge

Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes $x\in \mathbb {D}$ ausgewertet und die reelle Zahlenfolge $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ betrachtet, die dann für ein festes $x$ jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f_{o}(x).

Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor ${\underset {x\in \mathbb {D} }{\forall }}\,\,...$ bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke $n_{\varepsilon }$ in einem $\varepsilon$ -Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem $\varepsilon$ -Umgebung $]f_{o}(x)-\varepsilon ,f_{o}(x)+\varepsilon [$ von $f_{o}(x)$ liegen.

K2.2 Konvergenz im Funktionenraum

Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von Halbnormen $\|\cdot \|_{\mathbb {D} }:=\{\|\cdot \|_{x}\,:\,x\in \mathbb {D} \}$ mit $\|f\|_{x}:=|f(x)|$ auffassen:

{\stackrel {\|\cdot \|_{\mathbb {D} }}{\lim _{n\to \infty }}}f_{n}=f_{o}\,\,\,\,:\Longleftrightarrow \,\,\,\,{\underset {x\in \mathbb {D} }{\forall }}\,\,\,\,{\underset {\varepsilon >0}{\forall }}\,\,\,\,{\underset {n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }{\exists }}\,\,\,\,{\underset {m\geq n_{\varepsilon }}{\forall }}\,\,\,\,\|f_{n}-f_{o}\|_{x}<\varepsilon

Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz

Die Ungleichung $\|f_{n}-f_{o}\|_{x}<\varepsilon$ bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle $x\in \mathbb {D}$ zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion $f_{o}$ und dem Folgenglied $f_{n}$ mit $|f_{n}(x)-f_{o}(x)|$ gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch $\varepsilon >0$ ab einer Indexschranke $n_{\varepsilon }$ beschränkt ist.

K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie

Die Ungleichung $\|f-f_{o}\|_{x}<\varepsilon$ liefert $\varepsilon$ -Umgebungen um die Grenzfunktion $f_{o}$ . Die $\varepsilon$ -Umgebungen um die Grenzfunktion $f_{o}$ enthält alle Funktionen $f$ , die an der Stelle $x\in \mathbb {D}$ nicht weiter als $\varepsilon$ von der Grenzfunktion $f_{o}$ entfernt ist.

Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz

Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen $\mathbb {D} =\mathbb {R} ^{+}$ mit:

{\begin{array}{rrcl}f_{n}:&\mathbb {R} ^{+}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f_{n}(x)=1+{\frac {1}{n\cdot x}}\end{array}}

Die Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion $f_{0}$ , wobei $f_{o}(x)=1$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$ gilt. Man wählt dann zu einem festen $x\in \mathbb {D} =\mathbb {R} ^{+}$ und einem beliebigen $\varepsilon >0$ das ${\textstyle n_{\varepsilon }>{\frac {1}{\varepsilon \cdot x}}}$ mit $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ und man erhält:

|f_{n}(x)-f_{0}(x)|=\left|{\frac {1}{n\cdot x}}\right|\leq {\frac {1}{\left|n\cdot x\right|}}\leq {\frac {1}{n_{\varepsilon }\cdot x}}\leq {\frac {1}{\frac {1}{\varepsilon }}}=\varepsilon

Animation K2.5 - punktweise Konvergenz

Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen $f_{n}(x)={\frac {1}{n\cdot x}}+1$ gegen die konstante Funktion mit $f_{0}(x)=1$ .

K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke $n_{\varepsilon }$ gibt, ab der Funktion $f_{n}$ auf dem gesamten Definitionsbereich $\mathbb {R} ^{+}$ im gesamten $\varepsilon$ -Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die $\varepsilon$ -Umgebung um die konstante Funktion $f_{o}$ mit $f_{o}(x)=1$ für alle $x\in \mathbb {D} =\mathbb {R} ^{+}$ .

K2.7 - Supremum der Abweichung

Die Supremumsnorm der Abweichung von $f_{n}$ zu $f_{o}$ ist für alle $n\in \mathbb {N}$ unendlich, denn es gilt für $x_{k}={\frac {1}{k}}\in \mathbb {D} =\mathbb {R} ^{+}$ gilt $f_{n}(x_{k})=k+1$ und damit gilt für die Supremumsnorm und alle $k\in \mathbb {N}$ :

\|f_{n}-f_{o}\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {D} }|f_{n}(x)-f_{o}(x)|\geq |f_{n}(x_{k})-\underbrace {f_{o}(x_{k})} _{=1}|=k

Man erhält damit für alle $n\in \mathbb {N}$ auch $\|f_{n}-f_{o}\|_{\infty }=+\infty$ . Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz $\|f_{n}-f_{o}\|_{\infty }<\varepsilon$ nicht einmal für ein einziges $\varepsilon >0$ möglich.

(K3) P-fast sichere Konvergenz

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ eine Wahrscheinlichkeitsraum. Konvergenz wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten $\omega \in \Omega$ konvergieren, sondern es darf auch Punkte $\omega \in \Omega$ geben, für die die reellwertige Zahlenfolge $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht konvergiert.

Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen

Fasst man alle Punkte $\omega$ zu einer Menge ${\mathcal {N}}$ zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht gegen $X_{0}(\omega )$ konvergiert, dann muss bei $P$ -fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also $P({\mathcal {N}})=0$ . Weil bei es bei $P$ -fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die $P$ -fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz.

Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge

Die folgende Definition der $P$ -fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von ${\mathcal {N}}$ . Die Menge $\Omega \setminus {\mathcal {N}}$ besteht aus allen $\omega \in \Omega$ , für die $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass $P(\Omega \setminus {\mathcal {N}})=1$ gilt.

Definition - P-fast sichere Konvergenz

Eine Folge von Zufallsvariablen $X_{n}$ konvergiert $P$ -fast sicher gegen eine Zufallsvariable $X_{0}$ , wenn:

P\left(\left\{\omega \in \Omega \,:\,\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X_{0}(\omega )\right\}\right)=1,

wobei $P\left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X_{0}\right)=1$ als Kurzschreibweise verwendet wird.

Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz

Auch wenn die Kurzschreibweise $P\left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X_{0}\right)=1$ häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise

P{\bigg (}\,\,\underbrace {\left\{\omega \in \Omega \,:\,\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X_{0}(\omega )\right\}} _{=A=\Omega \setminus {\mathcal {N}}}\,\,{\bigg )}=1

besser die grundlegende Idee der $P$ -sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß $P:{\mathcal {S}}\to [0,1]$ ist auf der $\sigma$ -Algebra ${\mathcal {S}}$ definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ von einer Teilmenge $A$ von $\Omega$ , die alle Punkte $\omega \in \Omega$ enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $X_{0}(\omega )$ .

Beispiele - P-fast sichere Konvergenz

Die $P$ -fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht:

Beispiel K3.1, dass man mit einen einzelnen Punkt $\omega _{0}\in \Omega$ als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge $(X_{n}(\omega _{o}))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht $X_{0}(\omega _{0})$ konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die $P$ -fast sichere Konvergenz.
Beispiel K3.2 zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , die nur in einem Teilintervall von $[-1,4]$ punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die Rechteckverteilung nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folge $P$ -fast sicher.
Beispiel K3.3 verwendet die gleiche Funktionenfolge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus Beispiel 2 und verändert die Rechteckverteilung, die nur in einem Teilintervall von $[-1,4]$ . Die Wahrscheinlichkeitsmasse von ${\mathcal {N}}$ der Punkte mit nicht konvergenten Folgen ${\big (}X_{n}(\omega ){\big )}_{n\in \mathbb {N} }$ ist dort $P({\mathcal {N}})={\frac {1}{2}}\not =0$ .

Beispiel K3.1 - Animation

Die Animation zeigt die Funktionenfolge $f_{n}(x)={\frac {1}{n\cdot x}}+1$ für $x\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \{3\}$ und $f_{n}(3)={\frac {1}{n\cdot 3}}+2$ . Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die Rechteckverteilung auf dem offenen Interval $\Omega :=]0,7[\subset \mathbb {R} ^{+}$ , dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes $x_{0}=3$ gegen die konstante Funktion $f_{0}$ mit $f_{0}(x)=1$ für alle $x\in \Omega$ . In dem $(f_{n}(3))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht gegen $f_{0}(3)=1$ konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die $P$ -fast sichere Konvergenz, da $P({\mathcal {N}})=P(\{3\})=0$ ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt:

P{\bigg (}\,\,\underbrace {\left\{\omega \in \Omega \,:\,\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X_{0}(\omega )\right\}} _{=\mathbb {R} ^{+}\setminus \{3\}=\Omega \setminus {\mathcal {N}}}\,\,{\bigg )}=1

Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz

Die Animation zeigt den Graph der Funktion $f_{n}$ , die für alle $n\in \mathbb {N}$ eine Unstetigkeitsstelle in $x_{0}=3$ besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall $\Omega :=]0,7[$ , in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle $\varepsilon <1$ kann man keine Indexschranke $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ finden, ab der für alle $n\geq n_{\varepsilon }$ die Bedingung $|f_{n}(3)-f_{0}(3)|<\varepsilon$ gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt.

Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ob eine Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. eine Folge von Zufallsgrößen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $P$ -fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ in entscheidender Weise ab. Ist $P:\Omega \to [0,1]$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge $\{3\}\subset \Omega :=]0,7[$ eine positive Wahrscheinlichkeit mit $P(\{3\})={\frac {1}{6}}$ . Damit wäre ${\mathcal {N}}=\{3\}$ als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine $P$ -Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht $P$ -fast sicher gegen die $f_{0}$ konvergieren.

Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P

Ob dennoch die $P$ -fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ ab., da $P(\{3\})=0$ für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der ${\mathcal {N}}$ eine $P$ -Nullmenge ist.

Beispiel K3.2 - Animation

Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ , die auf einem Interval $[-1,4]\subset \Omega$ sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert.

Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß

Das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ wird durch die Dichtefunktion der Rechteckverteilung auf dem Intervall $[-0.5\,,\,2]$ definert:

{\begin{array}{rrcl}P:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} _{0}^{+}\\&x&\mapsto &p(x)={\begin{cases}{\frac {2}{5}}&,&x\in [-0.5\,,\,2]\\0&,&x\notin [-0.5\,,\,2]\\\end{cases}}\end{array}}

Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert.

Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte

Man betrachtet nun Menge ${\mathcal {N}}$ der Punkte $\omega \in \Omega$ , für die die reelle Zahlenfolge $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht punktweise gegen $X_{0}(\omega )$ konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus ${\mathcal {N}}=\mathbb {R} \setminus [-1\,,\,4]$ .

Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess

Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung

Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine $\varepsilon$ -Umgebung um die Grenzfunktion $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ . Die Grenzzufallsgröße $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der $\varepsilon$ -Umgebung um die Grenzfunktion $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ .

Beispiel K3.3 - Animation

Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß

Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval $[-1,4]\subset \Omega$ sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert.

Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes

Das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ hat nun als Rechteckverteilung auf dem Intervall $[-2\,,\,0]$ definert:

{\begin{array}{rrcl}p:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} _{0}^{+}\\&x&\mapsto &p(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&,&x\in [-2\,,\,0]\\0&,&x\notin [-2\,,\,0]\\\end{cases}}\end{array}}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist in der obigen Animation wieder grün markiert.

Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte

Man betrachtet nun wieder die Menge ${\mathcal {N}}$ der Punkte $\omega \in \Omega$ , für die die reelle Zahlenfolge $(X_{n}(\omega ))_{n\in \mathbb {N} }$ nicht punktweise gegen $X_{0}(\omega )$ konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus ${\mathcal {N}}=\mathbb {R} \setminus [-1\,,\,+1]$ .

(K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Bei der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der $\varepsilon$ -Umgebung der Grenzfunktion $X_{0}$ liegt. Die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die $P$ -fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird.

Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Eine Folge von Zufallsvariablen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable $X_{0}$ , wenn für jedes $\epsilon >0$ gilt:

\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X_{0}|\geq \epsilon )=0.

Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Die Funktionenfolge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval $\Omega =[0,1]$ definiert. Die Funktionenfolge ist als "wandernde schrumpfenden Sprungstelle" definiert. Auf einem Intervall $[a_{n},b_{n}]$ springt die Zufallsgröße von $-1$ auf $+2$ . Die Intervallbreite $[a_{n},b_{n}]$ halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall.

Definition der Folge von Zufallsgrößen

Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall $[a_{n},b_{n}]\subset \Omega$ fest.

{\begin{array}{rrcl}X_{n}:&\Omega &\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &X_{n}(\omega )={\begin{cases}+2&,&x\in [a_{n},b_{n}]\\-1&,&x\notin [a_{n},b_{n}]\\\end{cases}}\end{array}}

Für die Intervallgrenzen $a_{n},b_{n}$ gilt $0\leq a_{n}<b_{n}\leq 1$ und der Intervallbreite $s_{n}:=b_{n}-a_{n}={\frac {1}{2^{i}}}$ .

Berechnung der Intervallbreiten

Die Intervallgrenzen $a_{n},b_{n}$ werden in Abhängigkeit von $n$ durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite $s_{n}$ zu bestimmen:

e_{n}:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor \ \ \ s_{n}:={\frac {1}{2^{e_{n}}}}=2^{-e_{n}}

Mit der Anwendung der Gaußklammer ist der Exponent $e_{n}\in \mathbb {N} _{0}$ ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite $s_{n}$ für einen "wandernden Durchlauf der Sprungstelle" konstant.

Berechnung der Intervallgrenzen

Es gilt $e_{n}=3$ für alle $n=8,\ldots ,15$ und die Intervallbreite $s_{n}$ der Sprungstelle ist für diese $n\in \{8,\ldots ,15\}$ jeweils konstant ${\textstyle s_{n}={\frac {1}{8}}}$ . Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von ${\textstyle [a_{8},b_{8}]=\left[{\frac {0}{8}},{\frac {1}{8}}\right]}$ , ${\textstyle [a_{9},b_{9}]=\left[{\frac {1}{8}},{\frac {2}{8}}\right]}$ , ... , ${\textstyle [a_{15},b_{15}]=\left[{\frac {1}{8}},{\frac {2}{8}}\right]}$ . Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert:

{\begin{array}{rcl}a_{n}&:=&\displaystyle {\frac {n-2^{e_{n}}}{2^{e_{n}}}}\\b_{n}&:=&\displaystyle {\frac {n+1-2^{e_{n}}}{2^{e_{n}}}}\\\end{array}}

Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem $n$ und einer $\varepsilon$ -Umgebung mit $\varepsilon :=0,4$ . Die Grenzfunktion $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ mit $\Omega :=[0,1]$ ist eine konstante Funktion mit $X_{0}(\omega )=-1$ .

(K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Rechteckverteilung auf $\Omega =[0,1]$ . Für $\varepsilon =0.4$ in der Animation kann man die Indexschranke $n_{\varepsilon }=4$ ist die Intervallbreite der Sprungstelle $s_{4}={\frac {1}{4}}=0.25<\varepsilon$ .

(K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Für alle $\varepsilon$ mit $0<\varepsilon <3$ gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable $X_{0}$ konvergiert.

{\begin{array}{rrcl}X_{0}:&\Omega &\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &X_{0}(\omega )=-1\end{array}}

Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen:

\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X_{0}|\geq \epsilon )=0.

(K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Bei der Berechnung für $0<\varepsilon <3$ erhält man

{\begin{array}{rcl}P(|X_{n}-X_{0}|\geq \varepsilon )&=&P(\{\omega \in \Omega |X_{n}(\omega )-X_{0}(\omega )|\geq \epsilon \})\\&=&P([a_{n},b_{n}])=2^{-e_{n}}={\frac {1}{2^{e_{n}}}}\,\,\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,\,\,0\\\end{array}}

Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.

\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X_{0}|\geq \epsilon )=0.

Keine P-fast sichere Konvergenz

Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich $\Omega$ wandert, konvergiert die Funktionenfolge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ für kein $\omega \in \Omega =[0,1]$ , da für jeden Punkt $\omega \in \Omega$ die zugehörige reelle Zahlenfolgen ${\big (}X_{n}(\omega ){\big )}_{n\in \mathbb {N} }$ aus der $\varepsilon$ -Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte ${\mathcal {N}}$ , für ${\big (}X_{n}(\omega ){\big )}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht konvergiert, aus allen Punkte von $\Omega ={\mathcal {N}}$ .

(K5) Konvergenz nach Verteilung

Unter den 5 Konvergenzbegriffen wird nun die schwächste Eigenschaft "Konvergenz nach Verteilung" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im Zentralen Grenzwertsatz für die Konvergenz nach Verteilung gegen die Standardnormalverteilung verwendet.

Definition - Konvergenz nach Verteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellwertigen Zufallsgrößen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ . Die Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Verteilung gegen eine Zufallsvariable $X_{0}$ , wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen $F_{n}(x)$ an allen Stetigkeitsstellen $x\in \mathbb {R}$ von $F_{0}$ gegen die Verteilungsfunktion $F_{0}(x)$ punktweise für $n\to \infty$ konvergiert.

F_{0}{\mbox{ stetig }}x\in \mathbb {R} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F_{0}(x)

Bemerkung - Schwache Konvergenz

Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion $F_{0}$ . Diese Konvergenz ist schwächer als die punktweise Konvergenz, da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von $F_{0}$ verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von Zufallsgrößen gezeigt, deren Verteilungsfunktionen schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion $F_{0}$ konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren.

Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung

Sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen

F_{n}(x)=P(X_{n}\leq x)=P((-\infty ,x]),

für einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ und sei $X_{0}:\Omega \to \mathbb {R}$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_{0}(x)=P(X_{0}\leq x)$ für die Grenzzufallsvariablen $X_{0}$ .

K5.1 - Definition der Zufallsvariablen

Betrachte die Folge von Zufallsvariablen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ mit $\Omega =[-1,+1]$ und $P$ als Rechteckverteilung auf $[-1,+1]$ . Die reellwertige Grenzzufallsvariable $X_{0}$ ist definiert durch die identische Abbildung auf $\Omega$ :

{\begin{array}{rrcl}X_{0}:&[-1,+1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &X_{0}(\omega )=\omega \end{array}}

Alle Zufallsgrößen $X_{n}:\Omega \to \mathbb {R}$ sind für $n\in \mathbb {N}$ gleich definiert mit:

{\begin{array}{rrcl}X_{n}:&[-1,+1]&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\omega &\mapsto &1-X_{0}(\omega )=1-\omega \end{array}}

Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die Funktionenfolge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nach Verteilung konvergiert, aber nicht nach Wahrscheinlichkeit.

Hinweis - Stetigkeitsstellen

Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von $F_{0}$ sind also alle Punkte $x\in \mathbb {R}$ , an dem $F_{0}$ stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt.

Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit

Die Konvergenz nach Verteilung ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen.

Aufgabe zu K5 für Studierende

Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen $X_{0}$ und $X_{n}$ und auch zugeörigen Verteilungsfunktion $F_{0}$ und von $F_{n}$ !
Begründen Sie, dass $F_{0}$ stetig ist und $F_{0}=F_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt und damit auch $\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F_{0}(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$
Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nicht nach Wahrscheinlichkeit gegen $X_{0}$ konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt:

P(|X_{n}-X_{0}|\geq \varepsilon )=1-\varepsilon .

und damit die folgende Bedingung für die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit verletzt ist:

\lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X_{0}|\geq \varepsilon )=0.

Stärke der Konvergenzeigenschaften

Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden:

(K1) Gleichmäßige Konvergenz
(K2) Punktweise Konvergenz
(K3) $P$ -fast sichere Konvergenz
(K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit
(K5) Konvergenz nach Verteilung

Siehe auch

Kurse