Untervektorräume/Durchschnitt/(2 1 7), (4 -2 9) und (3 1 0), (5 2 -4)/Aufgabe/Lösung

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt ${}U\cap V$ besitzt eine Darstellung

${}s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}=p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\,.$

Die Koeffiziententupel ${}(s,t,p,q)$ bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}2&4&-3&-5\\1&-2&-1&-2\\7&9&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\\p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$

das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch

$I'=I-3II:\,\,-s+10t+q=0$

und die dritte Gleichung durch

$III'=III-4I':\,\,11s-31t=0.$

Wir wählen  ${}s=31$,  sodass  ${}t=11$  sein muss. Dies legt eindeutig ${}q$ und dann auch ${}p$ fest. Daher ist der Durchschnitt ${}U\cap V$ eindimensional und

${}31{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+11{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}62+44\\31-22\\217+99\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}106\\9\\316\end{pmatrix}}\,$

ist ein Basisvektor von ${}U\cap V$.

Zur gelösten Aufgabe