Varietät/Endlicher Körper/Zeta-Funktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}X$ eine Varietät, die über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q$ Elementen definiert sei. Diese Varietät besitzt endlich viele Punkte, die über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ definiert sind. Nennen wir diese Anzahl ${}N_{1}$. Aufgrund der Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{q}\subseteq {\mathbb {F} }_{q^{r}}$ (siehe Fakt) kann man ${}X$ auch über ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$ auffassen und dessen Punkteanzahl, nennen wir sie ${}N_{r}$, bestimmen. Wenn ${}X$ in einem affinen oder projektiven Raum durch Gleichungen beschrieben wird, so kann man direkt die Gleichungen über ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$ auffassen und die Punkte zählen, deren Koordinaten zu ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$ gehören. Wenn ${}X$ nicht eingebettet vorliegt, so muss man ${}X\times _{{\mathbb {F} }_{q}}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$ betrachten und dort die Anzahl der Punkte mit Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{q^{r}}$ bestimmen. Eine faszinierende Frage ist nun, ob es bei den Anzahlen ${}N_{1},N_{2},\ldots$ Gesetzmäßigkeiten gibt, und wie diese mit weiteren Eigenschaften von ${}X$ zusammenhängen. Die Suche nach diesen Gesetzmäßigkeiten war eine treibende Kraft in der Entwicklung der algebraischen Geometrie in der zweiten Hälfte des 20.sten Jahrhunderts (Weil, Grothendieck, Deligne). Es ist auf den ersten Blick überraschend, dass die folgende formale Funktion der richtige Ansatz ist, die Teilinformationen der ${}N_{r}$ in ein einziges analytisches (funktionentheoretisches) Objekt zusammenzufassen.

Definition

Es sei ${}X$ eine Varietät über einem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ und es bezeichne ${}N_{r}$ die Anzahl der Punkte von ${}X({\mathbb {F} }_{q^{r}})$. Dann nennt man

${}Z(t)=Z(X;t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,$

die Zeta-Funktion von ${}X$.

Genauer spricht man von der Weilschen Zeta-Funktion. Formal handelt es sich einfach um eine Potenzreihe in ${}t$ mit rationalen Koeffizienten. Aufgrund der Definition der Exponentialreihe handelt es sich um die Reihe

$1+{\left(N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}+N_{3}{\frac {t^{3}}{3}}+\ldots \right)}+{\frac {1}{2}}{\left(N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}+N_{3}{\frac {t^{3}}{3}}+\ldots \right)}^{2}+{\frac {1}{6}}{\left(N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}+N_{3}{\frac {t^{3}}{3}}+\ldots \right)}^{3}+\ldots .$

Beispiel

Der ${}n$-dimensionale projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{{\mathbb {F} }_{q}}^{n}$ über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$ besitzt ${}1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}$ Elemente, siehe Aufgabe, somit ist

${}N_{r}=1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}\,.$

Es ist

${}Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)(1-q^{2}t)\cdots (1-q^{n}t)}}\,.$

Dies bestätigt man, indem man beidseitig den Logarithmus anwendet. Es ist also

${}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }(1+q^{r}+q^{2r}+\cdots +q^{rn}){\frac {t^{r}}{r}}=\sum _{i=0}^{n}\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}\,$

zu zeigen. Mit der Logarithmusreihe ist aber für jedes ${}i$

${}\ln {\frac {1}{1-q^{i}t}}=-\ln \left(1-q^{i}t\right)=-\sum _{r=1}^{\infty }(-1)^{r+1}{\frac {(-q^{i}t)^{r}}{r}}=\sum _{r=1}^{\infty }q^{ir}{\frac {t^{r}}{r}}\,.$

Das Ergebnis im vorstehenden Beispiel ist typisch und zeigt bereits die Stärke und Prägnanz der Zeta-Funktion: Sie ist für eine glatte projektive Varietät ${}X$ stets eine rationale Funktion in ${}t$. Wenn ${}n$ die Dimension von ${}X$ ist, so gibt es ganzzahlige Polynome ${}P_{i}(t)$ für ${}0\leq i\leq 2n$ mit

${}Z(t)={\frac {P_{1}(t)\cdot P_{3}(t)\cdot P_{5}(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_{0}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot P_{4}(t)\cdots P_{2n}(t)}}\,.$

Diese starke Aussage beinhaltet insbesondere die keineswegs selbstverständliche Aussage, dass endlich viele der Anzahlen ${}N_{r}$ bereits alle Anzahlen bestimmen.