Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}] / 𝔞$ der Koordinatenring von $V$ und sei $𝔪_{P}$ das maximale Ideale zu $P$ in $R$ . Im lokalen Ring $𝒪_{P} = R_{𝔪_{P}}$ gibt es nach Voraussetzung und Fakt eine Beschreibung der Form $𝔪_{P} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ . Wir können nach Fakt $V$ verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge

P \in U = D (g) \subseteq V

übergehen und dann annehmen, dass $f_{1}, \dots, f_{n} \in R$ und dort bereits $𝔪_{P} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ gilt. Es ist $R \otimes_{K} R$ nach Fakt und Fakt der Koordinatenring des Produktes $V \times V$ . Wir betrachten die Funktionen

h_{i} = f_{i} \otimes 1 - 1 \otimes f_{i} \in R \otimes_{K} R,

diese Funktionen wirken auf $V \times V$ durch

(f_{i} \otimes 1 - 1 \otimes f_{i}) (Q, Q^{'}) = f_{i} (Q) - f_{i} (Q^{'}) .

Bezüglich der Einbettung (vergleiche Fakt)

V ≅ V \times {P} ⟶ V \times V

erhält man durch einschränken aus den $h_{i}$ die $f_{i}$ zurück. Da die $f_{i}$ modulo $𝔪_{P}^{2}$ linear unabhängig sind, gilt dies auch für $h_{i}$ modulo $𝔪_{(P, P)}^{2}$ .

Für die Diagonale ist offenbar

Δ \subseteq V (h_{1}, \dots, h_{n}) .

Der Punkt $(P, P) \in Δ$ ist in $V \times V$ nach Fakt ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring $𝒪_{(P, P)}$ regulär nach Fakt. Seine Dimension ist $2 n$ nach Fakt. Nach Fakt ist $𝒪_{V \times V, (P, P)} / (h_{1}, \dots, h_{n})$ regulär der Dimension $n$ . Insbesondere ist $(h_{1}, \dots, h_{n})$ nach Fakt ein Primideal in $𝒪_{V \times V, (P, P)}$ der Dimension $n$ und daher muss $Δ = V (h_{1}, \dots, h_{n})$ gelten.

Zur bewiesenen Aussage