Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei der Koordinatenring von und sei das maximale Ideale zu in . Im lokalen Ring gibt es nach Voraussetzung und Fakt eine Beschreibung der Form . Wir können nach Fakt verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge

übergehen und dann annehmen, dass und dort bereits gilt. Es ist nach Fakt und Fakt der Koordinatenring des Produktes . Wir betrachten die Funktionen

diese Funktionen wirken auf durch

Bezüglich der Einbettung (vergleiche Fakt)

erhält man durch einschränken aus den die zurück. Da die modulo linear unabhängig sind, gilt dies auch für modulo .


Für die Diagonale ist offenbar

Der Punkt ist in nach Fakt ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring regulär nach Fakt. Seine Dimension ist nach Fakt. Nach Fakt ist regulär der Dimension . Insbesondere ist nach Fakt ein Primideal in der Dimension und daher muss gelten.