Es sei
der Koordinatenring von und sei das maximale Ideale zu in . Im lokalen Ring
gibt es nach Voraussetzung und
Fakt
eine Beschreibung der Form
.
Wir können nach
Fakt
verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge
-
übergehen und dann annehmen, dass
und dort bereits
gilt. Es ist nach
Fakt
und
Fakt
der Koordinatenring des Produktes . Wir betrachten die Funktionen
-
diese Funktionen wirken auf durch
-
Bezüglich der Einbettung
(vergleiche
Fakt)
-
erhält man durch einschränken aus den die zurück. Da die modulo linear unabhängig sind, gilt dies auch für modulo .
Für die Diagonale ist offenbar
-
Der Punkt
ist in nach
Fakt
ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring
regulär
nach
Fakt.
Seine Dimension ist nach
Fakt.
Nach
Fakt
ist regulär der Dimension . Insbesondere ist
nach Fakt
ein Primideal in der Dimension und daher muss
gelten.