Es sei
der Koordinatenring von
und sei
das maximale Ideale zu
in
. Im lokalen Ring
gibt es nach Voraussetzung und
Fakt
eine Beschreibung der Form
.
Wir können nach
Fakt
verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge
-

übergehen und dann annehmen, dass
und dort bereits
gilt. Es ist
nach
Fakt
und
Fakt
der Koordinatenring des Produktes
. Wir betrachten die Funktionen
-

diese Funktionen wirken auf
durch
-

Bezüglich der Einbettung
(vergleiche
Fakt)
-
erhält man durch einschränken aus den
die
zurück. Da die
modulo
linear unabhängig sind, gilt dies auch für
modulo
.
Für die Diagonale ist offenbar
-

Der Punkt
ist in
nach
Fakt
ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring
regulär
nach
Fakt.
Seine Dimension ist
nach
Fakt.
Nach
Fakt
ist
regulär der Dimension
. Insbesondere ist
nach Fakt
ein Primideal in
der Dimension
und daher muss
gelten.