Varietät/Morphismen/Kurzübersicht/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

zu gehört.

Jede reguläre Funktion auf definiert einen Morphismus



Definition  

Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

ein Morphismus. Man nennt endlich, wenn es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass auch die Urbilder affin sind und die zugehörigen Ringhomomorphismen

endlich sind.



Satz  

Es seien und irreduzible projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ein Morphismus.

Dann ist entweder konstant oder aber ein endlicher Morphismus.

Beweis  


Ein endlicher Morphismus

zwischen irreduziblen Kurven führt in natürlicher Weise zu einer endlichen Körpererweiterung der Funktionenkörper. Diese Erweiterung kann man durch die Quotientenkörper zu beliebigen offenen affinen Teilmengen erhalten. Über diese Beobachtung kann man viele Begrifflichkeiten aus der Körpertheorie in die Theorie der Kurven überführen, beispielsweise Grad und Separabilität. Es gilt sogar der folgende Zusammenhang.



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper.

Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über und den Körpern über vom Transzendenzgrad , wobei sich endliche Morphismen und endliche Körpererweiterungen entsprechen.

Beweis  




Lemma  

Es sei eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei der Funktionenkörper von .

Dann definiert jede rationale Funktion in natürlicher Weise einen Morphismus

in die projektive Gerade .

Beweis  

Es sei

der Definitionsbereich (als Funktion in die affine Gerade) von und (bei )

der Definitionsbereich von . Es gilt , da die diskrete Bewertungsringe sind und dort mit einer Einheit , einem lokalen Parameter und gilt. Nach Fakt gibt es einen Morphismus

und einen Morphismus

die den Einsetzungshomomorphismen bzw. entsprechen. Auf dem Durchschnitt stimmen beide Morphismen überein, daher definieren sie insgesamt einem Morphismus in die projektive Gerade.