Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

$G:{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}⟶{ℝ}^2,\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)⟼\frac{1}{x^2+y^2}\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right).$

Wegen

$\frac{\partial G_1}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)=\frac{-(x^2+y^2)+y(2y)}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^2}$

und

$\frac{\partial G_2}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)=\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^2}$

erfüllt dieses Vektorfeld die Integrabilitätsbedingung. Es handelt sich aber nicht um ein Gradientenfeld: Das Wegintegral zur (geschlossenen) trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^2,t⟼\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right),$

ist

$\begin{array}{cc}{\int }_{\gamma }G& ={\int }_0^{2\pi }⟨G(\gamma (t)),\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right)⟩dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }⟨\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right)⟩dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}tdt\\ & ={\int }_0^{2\pi }1dt\\ & =2\pi \\ & \ne 0\end{array}$

im Gegensatz zu Fakt.