Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis2

Beweis

Für jedes Element  $u\in Q$  gibt es mindestens ein $v\in V$ mit $\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss  $\tilde{\phi }(u)=\phi (v)$  gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein $\tilde{\phi }$ geben kann. Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  $v,v^{\prime }\in V$  zwei Urbilder von $u$. Dann ist

$v^{\prime }-v\in \mathrm{kern}\psi \subseteq \mathrm{kern}\phi$

und daher ist  $\phi (v)=\phi (v^{\prime })$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien  $u,u^{\prime }\in Q$  und seien  $v,v^{\prime }\in V$  Urbilder davon. Dann ist $v+v^{\prime }$ ein Urbild von $u+u^{\prime }$ und daher ist

$\tilde{\phi }(u+u^{\prime })=\phi (v+v^{\prime })=\phi (v)+\phi (v^{\prime })=\tilde{\phi }(u)+\tilde{\phi }(u^{\prime }).$

D.h. $\tilde{\phi }$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei  $u\in Q$  mit einem Urbild  $v\in V$  und sei  $\lambda \in K$.  Dann ist $\lambda v$ ein Urbild von $\lambda u$ und daher ist

$\tilde{\phi }(\lambda u)=\phi (\lambda v)=\lambda \phi (v)=\lambda \tilde{\phi }(u),$

also ist $\tilde{\phi }$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

Zur bewiesenen Aussage