Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir wenden Fakt auf  $Q=V/\mathrm{kern}\phi$  und die kanonische Projektion $q:V\to V/\mathrm{kern}\phi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

$\tilde{\phi }:V/\mathrm{kern}\phi ⟶W$

mit  $\phi =\tilde{\phi }\circ q$,  die surjektiv ist. Sei $[x]\in V/\mathrm{kern}\phi$ und $[x]\in \mathrm{kern}\tilde{\phi }$. Dann ist

$\tilde{\phi }([x])=\phi (x)=0,$

also  $x\in \mathrm{kern}\phi$.  Damit ist  $[x]=0$  in $V/\mathrm{kern}\phi$, d.h. der Kern von $\tilde{\phi }$ ist trivial und nach Fakt ist $\tilde{\phi }$ auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage