Vektorraum/Additive Gruppe/Lineare Gruppe/Aufgabe/Lösung

Der Vektorraum ist isomorph zu ${}K^{n}$ , wir können also direkt mit ${}K^{n}$ starten. Wir betrachten die Abbildung

K^{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}},

die offenbar injektiv ist. Dabei gilt

{}{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&\ldots &a_{n}+b_{n}\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}\,,

es liegt also in der Tat ein Gruppenhomomorphismus vor.