Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Existenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

gegeben und fixiert. Dann ist die Abbildung

eine Linearform auf . Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch und eindeutig bestimmten Rechtsgradienten aus mit

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

linear ist. Es ist

Da dies für alle gilt, muss

sein. Ferner ist

Da dies für alle gilt, ist

Zur bewiesenen Aussage