Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

gegeben und  ${}w\in V$  fixiert. Dann ist die Abbildung

$V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle \varphi (v),w\right\rangle ,$

eine Linearform auf ${}V$. Daher gibt es (nach Fakt im reellen Fall, für den komplexen Fall siehe Aufgabe) einen durch ${}\varphi$ und ${}w$ eindeutig bestimmten Rechtsgradienten  ${}r={\hat {\varphi }}(w)$  aus ${}V$ mit

${}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \,.$

Wir müssen zeigen, dass die Zuordnung

$w\longmapsto {\hat {\varphi }}(w)$

linear ist. Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (v),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi (v),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\right\rangle .\end{aligned}}$

Da dies für alle  ${}v\in V$  gilt, muss

${}{\hat {\varphi }}(w_{1}+w_{2})={\hat {\varphi }}(w_{1})+{\hat {\varphi }}(w_{2})\,$

sein. Ferner ist

${}{\begin{aligned}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(sw)\right\rangle &=\left\langle \varphi (v),sw\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle \\&={\overline {s}}\left\langle v,{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle \\&=\left\langle v,s{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle .\end{aligned}}$

Da dies für alle  ${}v\in V$  gilt, ist

${}{\hat {\varphi }}(sw)=s{\hat {\varphi }}(w)\,.$

Zur bewiesenen Aussage